圆锥曲线：斜率问题、向量问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求椭圆的方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求直线的斜率；
(3)记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见详解
【详解】（1）抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即.
椭圆离心率，得.
，因此椭圆的方程为：
（2），，.
面积，
面积.
由，得：
因为在两侧，故异号，不妨设.
设直线，与椭圆联立得：
设，，
则
代入，得：
消去得：
所以，斜率.
（3）直线，
令得：
直线的斜率.
于是：
代入，
，
由韦达定理得：，，
可得：
代入上式，分子：，
分母：.
所以：
例2．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由，得，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
由消去得，
，，，
而，则
，
所以.
法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
由消去得，，
，，，
而，则，
，所以
例3．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程；
(3)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，使得恒为定值
【详解】（1）设椭圆方程为（），
因为椭圆经过点，所以，
又离心率，，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）法一：，，，则直线方程为，
直线方程为，
设角平分线上任意一点为，则，
得或，
因为斜率为正，所以直线方程为.
法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），
由于，则，
故，由于是锐角，
则，，所以，
直线的斜率为，
故直线的方程为.
法三：设角平分线与轴交于点，
则，即，
故，得，
所以，所以，故直线的方程为.
（3）设直线方程为，
联立得，
设，，则，，
则
，
故当时，使得恒为定值.
例4．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为，．
（i）求证：为定值；
（ii）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，（ii）证明见解析，定点为
【详解】（1）依题意可设椭圆，且，
又的周长为，即，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：（i）设,，,，，
由（1）可知，，
所以，，
因为，即，所以，
所以，
又，所以，
所以；
（ii）设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，
由（i）可知，，即，
所以，
即，
化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，
所以直线经过轴上的定点，定点坐标为．
变式1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点.
(1)求线段的长度；
(2)已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积．
【答案】(1)8
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，
，
直线的斜率为1，
的方程为,
设，，
联立直线与抛物线，得，
，，
由抛物线的定义得，．
（2）设，，，直线，的斜率分别为，，
联立方程得，
，
，，
，在上，，，
，，
，即直线，的斜率之积为．
变式2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知椭圆的中心在坐标原点，点在椭圆上，右焦点，点的坐标为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点.
①为弦的中点，求点的轨迹方程；
②设，直线和的斜率分别为，，当点，在轴的上方时，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①；②.
【详解】（1）由，，，得，
则，椭圆，由点在椭圆上，
得，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①由（1）知点，显然直线的斜率存在，设其方程为，
由消去得，
，解得，
设，则，
由为弦的中点，得，
当时，，则，
而，整理得，当时，满足上式，
因此，由，得，
所以点的轨迹方程为.
②由①得，由点，在轴的上方，得，
点，，
，
所以的取值范围是.
变式3．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线．
(1)若，求曲线的方程．
(2)若，证明：为定值．
【答案】(1)曲线的方程为，曲线的方程为；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设，而，则，由，
得，整理得，
设，则，由，得，整理得，
当时，曲线的方程为，
曲线的方程为.
（2）设，则，
由，得，即，
，
由点在曲线上，得；由点在曲线上，得，
则，于是，即，
所以为定值.
变式4．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且.
(1)求C的方程.
(2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程.
(3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)是，定值是.
【详解】（1）设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即，
因为，所以，
又由，所以可得，则，
即，
所以C的方程为；
（2）设，，则，两式相减得.
因为P，Q关于点对称，所以，，则，
所以直线的方程为，即.
（3）如图，作出符合题意的图形，
设，，直线的方程为.
由，得到，则且，
由韦达定理得，，
则
，
即为定值，定值是.
考点二 向量问题
例1．（25-26高二上·河南安阳·月考）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为3，离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，其中，
由题得，所以，即，
又焦点到渐近线的距离为3，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，
联立直线与的方程，得消去得，
因为直线与的两支分别交于点，所以，
得，设，则，
，
综上，的取值范围是.
例2．（25-26高二上·上海静安·月考）已知双曲线：，点的坐标为 ．
(1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；
(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）直线的方程为．
由方程组得．
设,则，
．
（2）设点，则点的坐标为．
，，
．
因为，所以．
例3．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点．
(1)点在椭圆上，若，求的面积；
(2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在轴上存在定点，使得为定值．
【详解】（1）设，又，则，
由得，∴解得，
故．
（2）由（1）知，左焦点．
因为直线斜率不为0，可设直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆方程，得．
设，则，
．
设定点，则，
代入得：，
令此式与无关，则，则，
此时，
因此，在轴上存在定点，使得为定值．
例4．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，联立，
将两式相减，整理得，
因线段AB的中点为，则有，又直线的斜率为，故.
代入上式，可得，即①，又因，即得②，
联立①②，解得，故椭圆C的方程为.
（2）因线段AB的中点为，则，
故由可得，
设点，则，解得，即，则，
又，
同理，
故.
变式1．（25-26高二上·云南大理·月考）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若．
(1)求双曲线的离心率；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，所以，
故，离心率为
（2），，
所以，
由于，所以，
解得，
变式2．（25-26高二上·云南文山·期末）已知是椭圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与交于两点．
（i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长；
（ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在点，使得为定值，的最小值为，理由见详解.
【详解】（1）由题意如图所示：

设，由题意得，
则，由，
所以，即，
因为是椭圆上任意一点，
所以，
所以点的轨迹的方程为.
（2）设，
（i）当时，点的坐标为，
由直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
故直线的方程为即，
联立，消去整理得，
则，，
所以；
（ii）如图所示：

若直线的斜率不为，，且经过，
则设直线方程为：，
联立消去得：，
则，
且，
由，则，
所以
，
令为定值，
则，
即，
所以有，
即，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
综上所述，存在点，使得为定值，且的最小值为.
变式3．（25-26高三上·上海·月考）已知在平面直角坐标系中，椭圆，其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的长轴长和离心率；
(2)若直线的斜率为1，求的面积；
(3)若，求直线的方程.
【答案】(1)长轴长为，离心率为.
(2)
(3)
【详解】（1）因为椭圆方程为，所以.
所以椭圆的长轴长为，离心率为.
（2）因为直线的斜率为1，过右焦点，
所以该直线的方程为.
联立直线方程与椭圆方程得，化简得.
设，根据韦达定理得，.
所以.
所以.
（3）由题可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
设，
因为，所以.
所以有，化简得①.
联立直线方程与椭圆方程得，
化简得.
，
所以解得②
若，
将其代入①中得，化简得，无解.
若，
将其代入①中得
，化简得，
解得，所以直线方程为.
变式4．（2025·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）根据题意，因为，，
所以，所以，
所以，
当位置互换时，，当过的直线与轴重合时无法作出，
所以点的轨迹为以为焦点，即，且的双曲线，
所以 ，的轨迹方程为.
（2）根据题意可知的斜率存在且不为，
设的斜率为，，，，，其中，
则，，
联立，消去得，
，
所以，，
所以中点坐标为，同理可得中点坐标为，
当，即时，两中点坐标分别为，，此时直线为，
联立，解得，，
所以，，不满足条件，
当时，，
则直线方程，整理得，
令，联立得，
，
所以，，，
所以由解得，
当时，代入解得或，
当时，代入解得或，
综上的斜率为或考点目录
斜率问题
向量问题