圆锥曲线：斜率定值问题、弦长定值问题、面积定值问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于两点（的斜率存在且不为0），设点关于轴的对称点为，的外接圆圆心为．
（i）求面积的最大值；
（ii）直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）（ii）是；定值为1，证明见解析.
【详解】（1）如图所示，因为为的右焦点，则，且椭圆左焦点为，
所以,
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设直线方程为，，
联立，得，
，即，
，，
因为点关于轴的对称点为，则直线与直线的斜率之和为0，
所以，
即，即，
得，即，所以直线过定点，且，
所以，
即，令，
，
当且仅当时，即时，面积的最大值为.
（ii）因为的垂直平分线方程为，
即①，同理的垂直平分线方程为②，
①+②得，，故，
①-②得，，
所以，即，
所以，故，
又因为，故，
所以直线与直线的斜率之积是定值1.
例2．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）因为焦距为2，所以，即，
又椭圆上顶点到点的距离与到直线的距离之比为，
上顶点，焦点，则，
解得，即，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设直线，
联立，得，
则，解得或，
由韦达定理可得，
所以
所以为定值0．

例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆经过点，两个焦点恰好将长轴三等分：
(1)求椭圆的方程；
(2)设两条直线、与椭圆共有四个不同的交点：直线与椭圆交于点与点，直线与椭圆交于点与点，且、、、四点都在以点为圆心的圆上，为坐标原点.
（i）若与交于点，求以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值；
（ii）若经过椭圆的左焦点，经过椭圆的右顶点，求证：直线与直线的斜率乘积是定值.
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意可得，，，，得，故椭圆的方程为；
（2）（i）如图，由椭圆的对称性可知，为线段的中点，

若圆心与点不重合，则有，则重合或平行，与题意矛盾，
故、、、四点都在以点为圆心的圆上，
则四边形为矩形，且，
因为，所以直线的斜率均存在且不为0，
故设，，，
联立，得，则，同理得，
则，，
因为，所以，得，即，
则，
则
，等号成立时，
故以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值为；
（ii）设椭圆的左焦点为，右顶点为，
故可设，，
联立，得，
则，
则，
则的中点为，
则线段的中垂线方程为，即，
直线的斜率为，且线段的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
即，
同理可得，线段的中垂线方程为，
联立，，
得，
则，
故的外接圆圆心为，则直线的斜率为，
因为直线的斜率为，所以直线与直线的斜率乘积是定值.

变式1．（25-26高二上·陕西安康·月考）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.

(1)求的方程；
(2)设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率为，，求的值；
(3)证明：直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）当直线垂直于轴时，，
，解得，
则的方程为；
（2）由（1）知的方程为，，
设，
直线，
联立，得，
，
由题意可得，
直线的方程为，
联立，得，
，
∴，同理可得，
由斜率公式可得，，
∴，
即；
（3）由题可知直线斜率不为，可设直线方程为，
联立，得，
，，
由（2）知，，，，
，解得，
所以直线方程为，过定点．
变式2．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，求的值；
(3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上．
【答案】(1).
(2)
(3)点Q在定直线上
【详解】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得，
由，解得.
综上，椭圆C的方程为：.
（2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有，
联立，化简得，其中，
由（1）得，则，，
则.
综上，的值为.
（3）由（2）中韦达定理得，，，

根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立.
设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为，
联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得.
综上，点Q在定直线上.
变式3．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程；
(3)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，使得恒为定值
【详解】（1）设椭圆方程为（），
因为椭圆经过点，所以，
又离心率，，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）法一：，，，则直线方程为，
直线方程为，
设角平分线上任意一点为，则，
得或，
因为斜率为正，所以直线方程为.
法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），
由于，则，
故，由于是锐角，
则，，所以，
直线的斜率为，
故直线的方程为.
法三：设角平分线与轴交于点，
则，即，
故，得，
所以，所以，故直线的方程为.
（3）设直线方程为，
联立得，
设，，则，，
则
，
故当时，使得恒为定值.
考点二 弦长定值问题
例1．（2026·江西上饶·一模）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且．
①求证：直线过定点；
②设直线相交于点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析②证明见解析
【详解】（1）如图所示，
设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上，
所以且轴，故，
又由于，所以得，
故椭圆方程为
（2）①设直线方程为，与椭圆联立，
消去得，
设，由韦达定理得：
直线的斜率，直线的斜率，
因此：，
即，整理得，
所以，故直线过定点.
②直线的方程，因为，
故直线可写为：，即：
直线过和，其方程为：，
联立直线与的方程，消去后解得，即；
同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，
所以：.
例2．（25-26高二上·山东·月考）如图，椭圆，且过，离心率．圆，点P为直线上一个动点．
(1)求椭圆W的标准方程；
(2)过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；（参考公式：若为椭圆上的点，则椭圆在Q处的切线方程为）
(3)若直线与圆O相切于点M，且交椭圆W于两点，证明：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意，得，解得，所以椭圆W的标准方程为．
（2）设点，
则切线的方程分别为．
将代入，得到，
点的坐标满足方程，则直线的方程为．
对于任意实数t，当时，恒有，即直线过定点，
所以直线过定点．
（3）圆，圆心为，半径为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由直线与圆O相切于点M，得，
圆心到直线的距离，
又因为，，所以，解得．
由，整理得．
则，
，
所以
．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，
联立解得，
所以，所以．
所以为定值．
例3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点.
(1)求的值及的准线方程；
(2)设直线分别与直线，轴的交于点，（，不重合），且.
（i）证明：存在定点，使得为定值；
（ii）求的最小值.
【答案】(1)，
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因为过点，所以，解得，
所以的准线方程为.
（2）（i）设，，所以，，
由题可知，直线的斜率不为，设切线的方程为，
联立方程， 整理得，
令，得，
即，所以，
则切线的方程为 ，整理得切线，
同理可得切线，
设两切线交于点，则，
所以切点弦的方程为，
直线方程为，由，且，不重合可知，
因为直线斜率为，直线斜率为，，
所以，解得，
故点在定直线上，设，
则直线的方程为，则，
（方法一）易知直线的方程为，直线的方程为，
联立解得交点的坐标为，
又直线与轴交于点，
由的坐标得，，
所以，即，即，
所以点在圆上(除去点)，
取定点，则，为定值，
所以存在定点，使得为定值.
（方法二），取点为的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.
（ii），
所以，
因为，
所以，
于是，，
由均值不等式，
当且仅当，即时取等号，此时，不重合，满足条件，
所以的最小值为.

变式1．（25-26高二上·广东广州·月考）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）（1）由，，，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）显然直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
则点的坐标为，，
联立方程，消去整理，
则，且，，
又因为直线的方程为，
令，得Q的横坐标为
代入，，得
所以为定值.
变式2．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的离心率为，且过点．点M，N在C上，且，，D为垂足．
(1)求C的方程；
(2)证明：MN过定点；
(3)证明：存在定点Q，使得为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得：，解得：，，
故椭圆方程为：；
（2）设点，，
若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：，
代入椭圆方程消去y并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据，，
代入整理可得：，
所以，
整理化简得，
因为不在直线MN上，所以，
故，，于是MN的方程为，
所以直线过定点．
当直线MN的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍），
此时直线MN过点；
（3）令Q为AP的中点，即，
若D与P不重合，则由题设知AP是的斜边，
故，
若D与P重合，则，
故存在点，使得为定值．

变式3．（2025·上海奉贤·一模）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．

(1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据；
(2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标；
(3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由．
【答案】(1)椭圆的方程为，作图见解析
(2)
(3)为定值
【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是，
则，解得，
则椭圆的方程为；
如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；

（2）设，则①，且，
当时，，
又，
因为，，所以直线的方程为，即，
故点到直线的距离，
，
因为，所以，即②，
联立①②，且，解得，
故点的坐标为；
（3）如图所示，，且，，则，

过作轴于，过作轴于，
设，其中，
，恒成立，
所以，
则，
设，其中，
，恒成立，
所以，
则，
因为，
所以
为定值，
所以为定值.
考点三 面积定值问题
例1．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)若直线OM，ON的斜率之积为，求的值；
(3)若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)是，
【详解】（1）设的半焦距为，
由题意得，解得
所以的方程为.
（2）设，，联立直线与椭圆的方程
可得，
，可得，
由韦达定理可得，
所以
，
因为直线OM，ON的斜率之积为，
所以，解得.

（3）设，，
联立直线与椭圆的方程得得，
则，，
直线到直线的距离为，
，
因为，所以，
解得，
所以
所以梯形的面积为定值.
例2．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点．当时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意直线的斜率不为0，
可设直线，联立得，
设，所以，
即，
当时，，即，即，
则抛物线的方程为．
（2）设，
直线AC的方程：，直线BD的方程：，
由，得，
所以，同理，，
所以，则，
即．
例3．（25-26高二上·四川德阳·期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为.
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）在直线上，证明见解析；（ⅱ）定值为，证明见解析.
【详解】（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得：
，

又设交点，则，
所以有
则直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上；
（ⅱ）因为与的面积之积是,

由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得：
， 即交点为的横坐标为
又设直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上，
把代入直线方程可得：
，即交点为的横坐标为，
由，
因为，所以，
即与的面积之积是.
变式1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知椭圆．
(1)若M是椭圆C的焦点，求b的值；
(2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以.
（2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得，
依题意，，直线，直线 ，
于是，
，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
变式2．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹；
(2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列．
①求直线的斜率；
②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．
【答案】(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆.
(2)①；②是，．
【详解】（1）由题意： .
所以曲线的方程为：．
所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆.
（2）①设直线方程为，，，，
如图：
由得，
，
所以，.
因为，，且成等比数列，，
，
又，所以，解得．
②，
，
为定值．
变式3．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程；
(3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3，
所以，解得：,
则,
所以椭圆C的方程为:,
（2）由题可得，，因为点P在第一象限且轴，
所以,解得：或(舍去)，
则点
所以，则直线的方程为：，即
设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然
则，解得:或(舍去)；
所以,
则，
所以的角平分线所在直线的方程为，即,
故的角平分线所在直线的方程为；
（3）由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,,
则,
联立,得,
所以,,
直线的方程为：,
令，则,
所以,
即点,
则,,
所以，则为定值考点目录
斜率定值问题
弦长定值问题
面积定值问题