圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围；
(3)若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，.
【详解】（1）由题意，解得，
则椭圆的方程为.
（2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ，
则斜率为，
由点差法：两式相减得，
代入，得,
由于在上，故，
联立得，
在椭圆内部，代入椭圆不等式：，
解得.
（3）设，满足，即，
联立得，，
由于直线：，则到的距离，
则
平方得，
代入以及，
整理得 ，
要使得与无关，则，得，
代入得，则.
所以存在使得时，的面积为定值1.
例2．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，点在上．
(1)求的方程．
(2)直线与交于两点．
（i）若线段的中点为，求直线的方程；
（ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）方法一：
由题意知，，即，设椭圆的左、右焦点分别为，
则．因为，所以，
解得，又因为，所以.所以椭圆的方程为.
方法二：
由题意知，，即，因为点在椭圆上，所以，又因为，所以，
所以，即，化简得或（舍去），所以，所以，所以椭圆的方程为.
（2）（i）设，，
因为线段的中点为，所以，
，因为，两点在椭圆上，所以
所以，所以，所以，
所以直线的方程为.
（ii）方法一：
直线的方程为，联立
化简得，.
所以.
设，则点到直线的距离
其中，当时，取最大值，此时，
所以面积的最大值为.
方法二：
直线的方程为，
设与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为，
联立化简得，，解得，
当时，直线与直线的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线距离最大的点，
点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离，
联立化简得，则，
所以，，
所以面积的最大值为
例3．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知椭圆与椭圆的离心率相同，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上的一动点，过点作椭圆的两条切线分别与交于A，B两点．
（i）若直线PA，PB的斜率均存在且分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值，否则，说明理由；
（ii）设为椭圆上的一动点（异于P，A），求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）是，；（ii）
【详解】（1）由已知得， ，
解得，所以，椭圆的方程为．
（2）（i）设，过点的切线方程为，
联立，得，
，即．
因为点在上，所以，因为点在椭圆上，所以，
于是，即，方程两根分别为，
所以．
（ii）法一：当直线PA的斜率不存在时，，此时最大面积为．
当直线PA的斜率存在时，联立，整理得，
所以，所以，
设，点到直线PA的距离，
所以，
所以，
当，即，
即点O，Q位于直线两侧，“=”成立．
又因为．
所以
，
当向量与向量共线，即时，等号成立．
事实上，因为直线PA与椭圆切点，此时M，O，Q三点共线，
所以的面积的最大值为．
法二：当直线PA的斜率不存在时，，
此时最大面积为．
当直线PA的斜率存在时，必有，设直线PA与椭圆的切点为，
则，且直线PA的方程为，
将直线PA的方程与椭圆联立，整理得，
所以，
设，则点到直线PA的距离，
所以，
因为，设，，
其中，
则.
当且仅当，所以时，
即M，O，Q三点共线且点位于点M，Q之间时，取“＝”．
所以的面积的最大值为．
例4．（25-26高二上·山东菏泽·期末）椭圆是坐标原点，若的三个顶点都在椭圆上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”.
(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点，并说明理由；
(2)已知是“核心三角形”.
（i）证明：的面积是定值；
（ii）若为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由.
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）4个，理由见解析.
【详解】（1）不存在，理由如下：不妨设，为椭圆的两个顶点，
椭圆的四个顶点坐标分别为，
由知，原点不可能是的中点，
所以为长轴的两个顶点和短轴的两个顶点显然不成立．
不妨设，则由得，
显然不满足椭圆方程，即点不在椭圆上．
同理可得，或时，点不在椭圆上．
综上所述，不存在＂核心三角形＂，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点．
（2）（i）证明：当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，
此时或，不妨设，则
由知：直线的方程为，
所以的面积为：．
当直线的斜率存在时，设的方程为：，
联立消去y得：，
由得：，①
设，则由韦达定理知：，
，又由可得
，即.
把代入得：②，
因为是的重心，所以，
由，原点到直线的距离，
所以
所以．
综上所述，的面积是定值．
（ii）若为等腰三角形，这样的三角形有4个．理由如下：
由题意不妨令，
当直线的斜率不存在时，满足题意的等腰三角形有2个；
当直线斜率为0时，满足题意的等腰三角形也有2个．
当直线的斜率存在且不为0时，由（i）知：，
所以的斜率，
那么由，即与不垂直，
这与且为的重心矛盾，
即当直线BC的斜率存在且不为0时，不存在满足题设的等腰三角形．
综上所述，若为等腰三角形，这样的三角形有4个．
变式1．（25-26高二上·宁夏·期末）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程；
(2)若直线的斜率为2，求的面积.
【答案】(1)标准方程为，准线方程为
(2)
【详解】（1）由题可知：.
当直线轴时，可得，.所以.
因为，所以，解得，
故抛物线的标准方程为.准线方程为.
（2）由（1）知：，所以直线.
联立直线与抛物线方程，得，
设点，，则，，
所以.
所以的面积.
变式2．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知椭圆是坐标原点，是椭圆C上的点，四边形是平行四边形.
(1)求平行四边形的中心M的轨迹方程；
(2)记平行四边形的中心的轨迹为曲线F，证明：平行四边形的对角线与曲线F相切；
(3)若三角形的两条边和与（2）中曲线F都相切，试证明：第三条边与曲线也相切，并探究的面积是否为定值.若是，求出其面积；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析；是，
【详解】（1）设平行四边形的中心，则是线段的中点，
的坐标为，
∵点在椭圆上，，
即是所求轨迹方程；
（2）设线段中点的坐标为的坐标为，
，两式相减得，
∴直线的方程是：，即，
代入得，
即，
，
与曲线相切.
（3）设线段中点的坐标为，
则的坐标为延长交椭圆C于，
再延长交曲线于，交椭圆于，
分别联立，及，得，即点是的中点，
是的中点，，
，
也是的中点，这样四边形是平行四边形，
由（2）的结论知与曲线相切，与点重合，
延长交椭圆C于是的中位线，，
即，同理，是的中位线，，即，
∴四边形也是平行四边形，由（2）的结论知与曲线也相切.
到直线的距离，
由，得
，
定值.
变式3．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0．
（i）求点的坐标；
（ii）求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）短轴长，椭圆上点到一焦点最大距离，
又，
解得，
椭圆方程为
（2）（i）设过的直线方程为，设、，

代入椭圆方程得，
由可得，即;
依据韦达定理可得，；
设，由可得，
将和代入，化简后得，
将和代入，解得，故．
（ii）到直线的距离为，
弦长，其中；
则，
令，则，，
代入面积公式，
由基本不等式，得，
当且仅当(即符合题意)时取等号，所以三角形面积的最大值为.
变式4．（25-26高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线相交于点，且它们的斜率乘积为，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)已知为线段AB上一点.点满足CM平分的内角.
（I）过点的直线与曲线交于P，Q两点，，求证：；
（II）设直线CM与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（I）见解析；（II）
【详解】（1）设由题意得，化简得.
动点的轨迹方程为：
（2）（I）如图：设
当直线的斜率为时，，满足题意；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为：，由得
，所以
综上：

（II）如图：设，，，
消去得，又，
所以.
因为平分，所以，即，解得，
代入，解得，其中.
设直线的方程为：，，，
，由消去得，
则，
所以
，令，，
所以，
，
，当且仅当时，即时取等号，
故，当且仅当时取等号.又 所以，
令，，由对勾函数的单调性知在上单调递增
，所以.
所以当时，的面积取得最大值，最大值为
考点二 四边形面积问题
例1．（25-26高二上·江西·期末）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且．
① 求证：为定值；
② 求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②
【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点，准线为，
因为点，可得，解得，
又因为，由抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）解：①由（1）知，设的斜率为，因为，则的斜率为，
则的方程为，联立方程组，整理得，
设，则，
则，
同理可得：，
所以，
所以为定值.
②因为，所以四边形的面积为，
由①知：，，
所以，
令，则，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以四边形的面积的最小值为.
例2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知焦点在轴上的椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是圆上的动点，过动点作椭圆的两条切线.
（i）证明：；
（ii）若矩形的各边均与椭圆相切，求该矩形的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）14
【详解】（1）法一：设椭圆方程为，则，解得，
则椭圆的方程为.
法二：设椭圆方程为，则，解得，
则椭圆的方程为.
（2）（i）当，切线斜率不存在或者为，；
当切线斜率存在时，设，
设切线方程为，的斜率分别为，
联立，整理得，
则，整理得，
即（*）.
因为，故是方程（*）的两根，
则，即，
综上可得，.
（ii）由（i）知，矩形是圆的内接矩形，对角线的长是圆的直径，
故矩形的面积，
由基本不等式知当且仅当时，矩形面积的最大值为14.
例3．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点.
（i）当斜率为1时，求四边形的面积.
（ii）求证：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由椭圆定义得，解得.
又因为离心率，所以，
则，因此椭圆标准方程为
（2）（i）由（1）得，当时，直线的方程为.
联立，得（或）
设，则，
，
∴四边形的面积；
（ii）证明：设直线的方程为且斜率不为0，设，
由椭圆方程可知，联立，整理得，
由根与系数的关系得.
设直线的方程为，直线的方程为，
设，则，
将代入得.
同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得.
因为直线的斜率不为不能同时为0，且若假设，
代入到，得；代入到，得，
将代入到中，整理得，
即矛盾，故假设不成立，即
故只能，即，因此点在定直线上.
例4．（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为．
(1)证明：点在直线上；
(2)若的中点为．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求四边形面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）0；（ⅱ）
【详解】（1）与的交点为，
由得
点在直线上；
（2）（ⅰ）不妨设，由（1）知点的坐标为，如下图所示：
又，即为的中点，点的坐标为，
又点在曲线上，，
整理得，
同理可得，
是关于的方程的两根，
，
又，
点的坐标为，即，
直线的斜率；
（ⅱ）设四边形的面积为，
为的中点，为的中点，，
又由（ⅰ）知：直线平行于轴或与轴重合，
，
又，，
，
可得四边形面积的最小值为．
变式1．（2026·陕西咸阳·一模）已知双曲线：的实轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）由已知得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，，，，
如图：

设直线的方程为，
联立得，
，且，
，，
所以，所以.
由，，三点共线得，①
由得，
又，则，②
联立①②解得，，即，
由是线段的中点及可知，四边形是平行四边形，
设到直线距离为，
则，
而，
.
令（且），则，
则，
令，则，
所以在上，单调递增；
在上，单调递减；
在上，单调递增，
又因为，，
所以，
当即时，符合题意，
所以.
变式2．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知椭圆的离心率为 点是椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且倾角为的直线与椭圆交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求此平行四边形的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为点是椭圆的右顶点，所以.
又，所以.
又，所以
所以椭圆的方程为.
（2）由题意得直线l的方程为：，设，，
联立，消y，得，
，
，
到直线的距离，
.
变式3．（25-26高二上·福建·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，点，分别为椭圆的左、右焦点，斜率为-1的直线交椭圆于，两点.
(1)求的方程；
(2)记椭圆右顶点为，线段上是否存在点（点不在直线上），使得?若存在，请求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若点，均在轴上方，且点在点上方，证明：四边形的面积小于2.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题可得，所以，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
设直线，，线段的中点为，
因为，所以在线段的垂直平分线上，
联立方程，可得，
，可得，即
，，
所以，
所以线段的垂直平分线方程为：，即，
令，可得，所以，
，解得，
又因为在线段上，，
所以，
，
所以线段上不存在点（点不在直线上），使得.
（3）由（2）得，，，
所以，
因为，均在轴上方，且点在点上方，
所以，
设四边形的面积为，直线与轴的交点为，
由（2）知，
则
.
所以四边形的面积小于2.
变式4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于、两点（在上方），当轴时，直线为的等线.
[注]双曲线在其上一点处的切线方程为
(1)求双曲线的方程；
(2)若是四边形的等线，求四边形的面积；
(3)已知为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由.
【答案】(1)
(2)36
(3)为的等线，理由见解析
【详解】（1）将代入双曲线的方程可得，
解得，
因为直线为的等线，
所以点在轴的上方，即.
由，得.
因为双曲线的离心率为，
所以双曲线的离心率为，
又因为，
所以，
所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，
则双曲线在点处的切线的方程为.
双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
所以，
所以是线段的中点.
因为点、到过原点的直线的距离相等，
所以过原点的等线必定满足点、到该等线的距离相等，且分别位于两侧，
所以该等线必过点，
即直线的方程为.
方程组，解得或，
所以.
所以，
故.
（3）设，
则双曲线在点处的切线的方程为.
易知与在的右侧，在的左侧，
因为，，
所以点到的距离.
由,得.
因为，，
所以，，
所以.
因为点到的距离，
点到的距离，
所以，
即为的等线.考点目录
三角形面积问题
四边形面积问题