圆锥曲线：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线交轴于点关于的对称点为点，直线交直线于点，求证：直线恒过定点．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为短轴长，所以，又，
所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）由得，即，
由得，
设，则，
所以中点的坐标，
则的中垂线的方程为，
令得，即，设其关于的对称点，
则由，解得，
即.
由得，即，
所以
所以直线方程为，即，
所以直线恒过定点.
例2．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上的一点，且的周长为6，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点．
①若线段的垂直平分线与轴的交点坐标为，求的取值范围；
②已知点分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点，直线与交于点，点与点关于原点对称，三点共线，求证：直线经过定点．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由题意可得， 解得，所以，
故的标准方程为．
（2）①由题意可设直线的方程为，
联立消去可得，
依题意可得，即，
因为，
所以线段中点的坐标为，
所以当时，，
当时，线段的垂直平分线方程为，即，
令，解得，所以，
故，则，
由题意关于的不等式有解，则，解得，
综上所述，的取值范围是．
②根据题意可知，的方程为，直线的方程为，
由可得
故，
因为三点共线，所以，
化简整理得，
又因为，
所以，
将代入上式可得：
，
化简整理可得，解得或，
当时，直线的方程为，该直线过定点，
若，则直线与直线平行，
此时，直线（即直线）与没有交点，点不存在，与题设“直线与交于点”矛盾，故该情况舍去，
所以，直线的方程为，此直线过定点．
例3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若的左、右顶点分别为A，B，P，Q是轴上异于原点以及的上、下顶点的两点，且满足，直线，分别交于点M，N（M与N不重合）．
①若直线AN，BM的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)①存在，②证明见解析，定点坐标
【详解】（1）由题可知，，即，
又，所以，
又因为点在椭圆上，故，
所以，解得．
所以，
故椭圆的标准方程为．
（2）①因为P，Q是轴上异于原点以及的上下顶点的两点，且，
所以可设，且．
又，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由，得，所以，
所以，同理解得．
所以，
所以．
②方法一：由①知，
所以直线的方程为，
即，则直线过定点．
方法二：由①知，所以，
设直线的方程为，
由，得，
即，
则，且，即．
所以，
即，
则，
即，
又，所以，
解之得，则直线的方程为，过定点．
变式1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点和上顶点构成边长为的等边三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为，且（为椭圆的右顶点），求直线的方程；
(3)关于圆的切线有这样的结论：“圆上点处的切线方程为”，类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆上点处的切线方程为”.已知点在直线上，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)或.
(3)证明见解析
【详解】（1）由已知，，所以，故
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，、，
易知，联立，消去并整理得，
，解得，
由韦达定理得，，
因为，且，，
即，
整理得，
因为，，所以，
即，解得或，均合乎题意，
则直线的方程为或.
（3）设、、，则切线的方程为，
同理可知直线的方程为，
因为点为直线、的交点，所以，
所以点、的坐标都满足方程，
故直线的方程为，由可得，
所以直线过定点.
变式2．（25-26高三上·青海西宁·期末）定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上的点作长轴所在直线的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆：上（）的点的一个“伴随点”为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于不同的两点，，点与点关于轴对称．证明：直线过定点.
【答案】(1)；
(2)直线过定点，证明见解析.
【详解】（1）由题可知，椭圆的伴随圆方程为：，
因此有，解得，
故的方程为：；
（2）①当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，
则，
联立，整理得，
则，
，所以，
直线的方程为，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上，
当时，
即直线恒过定点.
②当直线的斜率为时，易知直线的方程为，也过.
综上所述，直线过定点.
变式3．（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于两点，椭圆右顶点为．
(1)求的方程；
(2)直线经过椭圆上顶点，且斜率为时，求的面积；
(3)当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)过定点，
【详解】（1）由题意有：，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）由题意有：，椭圆的上顶点为，过点斜率为的直线的方程为：，
所以，消元化简得：，解得或，
当时，，所以，
所以，
又点到直线的距离为：
，
所以；

（3）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
所以，消元整理得：，
所以，即，
设点，
所以，
所以，
由，即，
化简整理得：，
所以，
化简整理得：，解得或，
当时，直线的方程为：恒过定点为，即点，不满足题意，
当，直线的方程为：，所以直线恒过定点，
当直线的斜率为时，此时直线的方程为，
所以，即，
所以，
所以，
所以不满足题意，
综上所述，当时，直线恒过定点.

考点二 椭圆中的定值问题
例1．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比为，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若，分别为曲线的左、右顶点，点为曲线上与，不同的动点，直线和直线分别与直线交于、两点，求的最小值；
(3)若，为曲线上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在两定点S，T，使为定值4
【详解】（1）依题意，，即，
两边取平方，整理可得.
（2）

如图，不妨设点在椭圆的上半平面，设，且，
则的方程为：代入，化简得：，
由题意，，解得，代入，解得，即得，
又，则，，
因，则得，化简得，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为；
（3）存在两定点S，T，使为定值,理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立直线与椭圆方程得，
，即，
设，则，
故
，
故当时，取得最大值，最大值为，
此时，满足，
因为，所以，
故，,故，
令，两式相除得，故，
将其代入得，结合得，
化简得，
因为，所以，故，即，
当直线的斜率不存在时，设，则，,
则，
不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值，
此时,的中点坐标为，满足，
故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，
两焦点坐标为，
由椭圆的定义可知，存在两定点S，T，分别为或，
使为定值.

例2．（25-26高三上·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)在轴上存在点，使得为定值．
【详解】（1）设椭圆的半焦距为,
由题意可得，解得， ，
所以椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆的方程，可得，
设，则．
设，则
，
若为定值，
则，解得．
此时点的坐标为．
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入，得
不妨设，
若，则，，．
综上，在轴上存在点，使得为定值．

例3．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知焦点在轴上的椭圆，左右焦点分别是，，左顶点为，上顶点为，且，长轴长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线交轴于点，与椭圆交于点（异于点），过作平行于的直线交椭圆于、两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值4
【详解】（1）设椭圆标准方程为：，
因为长轴长为8，所以，
在中；
由余弦定理：，解得，
则，
所以椭圆标准方程为：.
（2）为定值，理由如下：
由题可知直线的斜率一定存在，
则设过的直线方程为 ， ,则
联立直线与椭圆方程：，
得到
由韦达定理得到，
即，
所以；
因此.

过且平行于 AE 的直线方程为，
设
联立方程，
得到
则，，
所以
.
所以.
变式1．（25-26高二上·山东济南·期末）已知椭圆过点，离心率为．
(1)求的标准方程；
(2)设的左、右焦点为的一条切线与直线分别交于两点．
（i）若过点，直线与交于两点，求的面积；
（ii）若直线与交于点，是否存在两个定点，使得是定值？如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，，或，
【详解】（1）把代入得：，
因为离心率为，所以，所以，
联立，解得，
所以的标准方程为.
（2）（i）易知直线的斜率存在，因为直线过点，
设直线方程为，
联立，消去得，
因为直线与椭圆相切，
故，
化简得，解得，
所以直线方程为，即，
将代入得，则，
又，所以直线的方程为，
设，
联立，消去得，
则，，，
则，
点到直线的距离，
所以的面积为．
（ii）设切点坐标，设直线方程为，
联立，
消去得，
因为直线与椭圆相切，
故，
化简得，
故，
因为点在椭圆上，故，，
所以，所以直线方程为，即，
所以，，
又，
直线，即，
直线，即，
上面两个式子相乘得：，
因为，所以，
所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，
所以存在，或，，使得．
变式2．（2026·湖北十堰·一模）已知椭圆：（）的实轴长为，点在上.
(1)求的离心率；
(2)若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上；
(3)已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）由题意可知：，即，椭圆方程为，
代入点可得，解得，
所以椭圆的离心率.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，，
因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，
设直线：，，
联立方程，消去x可得，
则，，可得，
由题意可知：直线，直线，
联立方程消去y可得
，
即，可得，
所以点在定直线上.
（3）设，且，
则，且，，
可得，即，
代入椭圆方程可得，
整理可得，
又因为，，，
可得，即，
且，可得，即，
所以（为定值）.
变式3．（25-26高二上·四川·期末）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)已知点，在上，且，，为垂足．试确定是否存在定点，使得为定值．若定点存在，求出定点坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意可知，且，又过点，所以，
解得，
椭圆的方程为．
（2）如图所示，
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据，
代入整理可得，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，可得，
由得，
得，结合可得：，
解得或（舍），
此时直线过点；
令为的中点，即，且由上述可知，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故；
若与重合，则；
故存在点，使得为定值．
考点三 椭圆中的定直线问题
例1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）已知平面上的动点与点、连线的斜率之积为，过点的直线与点的轨迹交于、（在轴上方）两点，直线、交于点，记，的面积分别为、.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设点，则，整理得，
又因为，所以点的轨迹的方程为.
（2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，
设、、、，
联立得，
恒成立，
所以①，②，
因为、、，则，
所以，所以，
代入①②两式得，，，
所以，解得，
结合，知，所以，
所以直线的方程为，即.
（3）直线的方程为，直线的方程为，
当时，两式相除得，
所以，
由（2）中①②式可得，
所以，
所以，所以点在定直线上.
例2．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为；
（2）依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，设直线为，，则，，
由，得，
所以，由，得；
所以，所以，即；
又因为，所以，直线的方程即为；
由，得；
又与直线垂直，所以，所以直线的方程为；
由，得，即，解得；所以点在定直线上.
例3．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】(1)，焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
(2)证明见解析
【详解】（1）设点的坐标为，
因为，所以直线的斜率为，
因为，所以斜率为，
由已知得，整理得，
故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
（2）联立，消去整理得：，
如图，设，，，，
而，
直线，直线，
联立两直线得到，
整理得，
故直线与直线的交点在定直线上.
变式1．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上．
(1)求实数的值；
(2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：；
(3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设椭圆E的半焦距为c，
由题意可得，解得，
故实数的值为.
（2）
设
已知，所以
由在椭圆上有：
所以.
（3）
设，
由题意知，
令，则有，
所以，，
则有，即，
①③得：⑤
②④得：⑥，
⑤⑥：
又在椭圆上，
则有，，
所以的轨迹方程为：，
即点在定直线上．
变式2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)定值，
(3)证明见解析
【详解】（1）根据题意可得，，又，则，
所以椭圆方程为
（2）设过点A的直线为，
联立，消去整理得，
易得，
则，
所以
.
所以直线BM与直线BN的斜率之积为定值.
（3）由题意可知：直线的斜率不为0，设直线CD的方程为，
与的方程联立得，消去可得，

设，则，，
即，直线，
直线，
联立上述两方程消去可得，
整理得，
因为，所以，
由，得，
，
综上所述，动点在定直线上.
变式3．（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得椭圆的半焦距，
，所以，
所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）不妨设，，l的方程为，
联立，得，
恒成立，
设，，则，
故，，
又的方程为，的方程为，
联立两直线方程得，
即，
因为，所以，
整理得，
故点Q在定直线上.
考点目录
椭圆中的定点问题
椭圆中的定值问题
椭圆中的定直线问题