圆锥曲线：向量问题、斜率问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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(1)若，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
①求的取值范围；
②求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）设，，
联立方程消去得，
则，
所以，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为
（2）①依题意可知直线垂直平分线段，
所以直线的斜率为，设其方程为，
代入中消去可得到：（*），
设，，则，
因为的中点在直线上，所以，
又因为在直线上，所以，
因为方程（*）有两个相异实根，所以，解得，
故所求的取值范围是
②设，，，，
方法一：，，
则
，
因为，，
所以，，
则，
又因为，即，
所以
.
方法二：以为直径的圆为，
即，
由（1），因为，所以，
所以代入方程，
可化为，
即，
记以为直径的圆的圆心为，
因为线段的中点，所以，
又
，
所以，
所以以为直径的圆过点，
所以，的值为0.
例2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且时，的面积为．
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，直线过点，且与交于B，C两点，直线AB，AC与轴分别交于点M，N，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则，①
在中，由余弦定理可得，
即，
即代入①式，得．
所以，
所以，椭圆的方程是．
（2）当B，C之一为点时，不妨设，此时
AC斜率为0，N点为坐标原点，直线方程为．
代入，求得，所以AB方程为，
所以，所以MN中点为．
所以．
当AB，AC斜率都不为0时，设，
由得，
所以，代入中，得，
所以，
同理，
由Q，B，C共线，得，
所以，整理得②，
直线AB与轴交点为，直线AC与轴交点为，
所以MN中点，即，由②得，
所以．
综合以上可得为定值．
例3．（25-26高二上·天津河北·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且点是第一象限的点，若，求点的坐标；
(3)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由椭圆的离心率为，所以，①
长轴长为，则，②
又，③
联立①②③解得：，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意如图所示：
由（1）知，
由点在椭圆上，且点是第一象限的点
设，且，④
此时，
由，即，
化简得：，⑤
将⑤代入④解得：或（舍去），
将代入⑤中解得或（舍去），
所以点的坐标为：.
（3）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，
则设直线的方程为：即，如图所示：
设，
联立，消去整理得：，
由，
所以，
根据弦长公式得：
，
又到直线的距离为：
，
所以，
解得：，满足题意，
所以.
例4．（25-26高三上·广东潮州·月考）在直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于两点．
(1)求的标准方程；
(2)若的斜率为，且，求的值；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即，
又椭圆的离心率，则，
所以，
故椭圆方程为.
（2）如图所示：

由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为，
设，
联立直线与椭圆，得，
则，即，
且，，
则，
则，
解得.
变式1．（25-26高三上·浙江衢州·月考）已知椭圆，过右焦点F作不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于点M，交直线于点N，直线与x轴交于点H．
(1)求证：在x轴上存在点C使得为定值；
(2)试探究A，M，B，N四点是否共圆，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)A，M，B，N四点共圆，理由见解析
【详解】（1）证明：依题意有，直线l过点F，且斜率存在，则设直线l方程为，
设，，联立，
消去y并整理得，
因为l过椭圆右焦点F，所以l一定与椭圆相交，即恒成立，
所以，，
，
设，则，，
，
要使为定值，则，解得，此时，
所以在x轴上存在点，使为定值，定值为．
（2）设AB中点，则，
所以，即，
所以AB中垂线方程为，
令，则，即，
所以，
，
，
所以，
由相交弦定理得，A，M，B，N四点共圆．
变式2．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率．
(3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点纵坐标的取值范围为，满足题意.
【详解】（1）依题意可知，解得，
因此椭圆的方程为；
（2）易知，设直线的方程为，；
联立，整理可得，显然；
因此，
由可得，即，
代入可得，即；
因此，即，
解得，
因此直线的方程为，即其斜率为.
（3）如下图：
当过点的动直线斜率存在时，
设直线方程为，，；
联立，整理可得，显然；
因此，
所以
若存在点使得恒成立，可得，
解得，
当过点的动直线斜率不存在时，两个交点分别为椭圆的上下顶点，
显然此时方向相反，满足题意；
综上可得，点的纵坐标的取值范围为，使得恒成立.
变式3．（24-25高三上·广东广州·月考）已知双曲线，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点.
(1)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的横坐标；
(2)若，连接并延长，交双曲线于点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
若，则，所以，
因为为等腰三角形，且点在第一象限，设，，
若以为底则点在的垂直平分线上，不符合题意；
若以为底，因为点在第一象限，必有，不符合题意；
所以，即，又，
联立以上两方程解得，
所以点的横坐标为，
（2）
由题意可知，
当直线的斜率为零时，显然不符合题意；
所以设直线的方程为，，
由连接并延长，交双曲线于点可得，
联立，消去可得，
其中，，
，
，
因为，即，
即，化简可得，
代入韦达定理并化简可得，解得，
所以直线的方程为，即.
变式4．（24-25高三上·上海·月考）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：直线、的斜率之积为定值；
(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c．
由题意知．
故，
因此．
（2）由题意知．设直线，
与双曲线方程联立得．
设、，则，
故直线、的斜率之积为
．
（3）由题意知，得．
设，则．
即．
由于，上式即，解得．
利用(*)式，得，
因此存在定点满足题目要求．
考点二 斜率问题
例1．（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的右焦点为，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，且经过点，
所以，因此双曲线的方程为；
（2）由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等，
设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得
，不等于0.
所以有，
设，
，解得，
同理，
所以
，
设直线的斜率为，
同理可得：，
因为，
所以，
因为，所以，
因此直线与直线的斜率之和是定值.
例2．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可得
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，由（1）可知，，
因为点在椭圆上，所以.
由题意：，：，
将直线与椭圆联立，可得，
整理可得：.所以.
所以，，即.
同理，将直线与椭圆联立.可得.
整理可得：，所以，
所以，，即.
所以的斜率为，的斜率为.
故
因为点在第一象限内.故，.
所以的最小值为，当且仅当在处取到等号.
例3．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知双曲线的右焦点为，点到其渐近线的距离为1，且的离心率为 .
(1)求的标准方程；
(2)若，直线与双曲线交于两点，且直线的斜率之和为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，
故点到其渐近线的距离为，
又，，
又的离心率为 ，，即，
，解得，
故的标准方程为.
（2）
设，
联立，即，
又直线与双曲线交于两点，
，即，
，
又，，，
，
又直线的斜率之和为，
，解得或（舍去），
故直线的方程为.
例4．（25-26高二上·上海·期末）设椭圆，其中.四个顶点分别为､，左､右焦点分别为.
(1)若离心率，求椭圆的标准方程；
(2)若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值；
(3)若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，请问是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由，得，所以，所以半焦距，
所以左焦点，又下顶点，所以线段的中点，
又因为直线和圆相切，切点为，所以，
所以，又，
所以，解得，所以；
（3）当时，由，可得，
所以椭圆的标准方程为，所以右焦点.
设过斜率不为零的直线的方程为，，
由，所以，整理得，
所以，
又，
所以.
所以是为定值，且定值为.
变式1．（25-26高二上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆.以且代替椭圆得到椭圆的方程.
(1)求椭圆的离心率：
(2)设为上异于其左､右顶点的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）对于椭圆，则为，
故椭圆中，，故，
则椭圆的离心率.
（2）由题解得，所以椭圆的方程为，
设，则直线的方程为，
即，记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以，为关于的方程的两根，
所以，又点在椭圆上，所以，
故，为定值.
变式2．（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知椭圆的离心率为为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，已知，求
【答案】(1)；
(2)2.
【详解】（1）在椭圆中，，则直线AC：，即，
由原点到直线的距离为，得，则，
由的离心率为，得，解得，，
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，直线AC的方程为，直线方程为，
由，解得，即点，
由消去得，设点,
则，即，，点，
直线PC的斜率为，
直线PC的方程为，令，得，点，
则QT的斜率，
因此，而，所以.
变式3．（2026·安徽黄山·一模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且.
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点，其中的斜率为且，求的值.
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）或，（Ⅱ）
【详解】（1）依题意，，所以，所以；
又，所以；
所以椭圆的方程为：；
（2）（Ⅰ）
由（1）知，，所以；
又，所以，
又，所以，解得；
又，所以，所以；
故点的坐标为或；
（Ⅱ）设，即；
由，得，
所以，
，
即；
因为，
所以
，
同理，对于斜率为的直线，
可得；
又，所以，
因为过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点，
所以点不能在椭圆上；
若点在椭圆上，则，即，因此，
所以，即，解得.
变式4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点.
(1)求线段的长度；
(2)已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积．
【答案】(1)8
(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，
，
直线的斜率为1，
的方程为,
设，，
联立直线与抛物线，得，
，，
由抛物线的定义得，．
（2）设，，，直线，的斜率分别为，，
联立方程得，
，
，，
，在上，，，
，，
，即直线，的斜率之积为．
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斜率问题