圆锥曲线：以椭圆为背景的中点弦问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设点、，则线段的中点为，
因为、关于直线对称，且直线的斜率为，
故，
因为，这两个等式作差得，
即，故①，
又因为点在直线上，故②，
联立①②可得，，
因此线段中点的横坐标为.
故选：D.
例2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，则（ ）
A．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上.
B．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上.
C．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上.
D．这些线被椭圆截得的线段的中点在直线上.
【答案】D
【详解】设一组平行直线的方程为，
代入椭圆方程，可得，
即为，
由判别式大于0，可得，解得，
则有，所以截得的线段中点的横坐标为，
代入直线方程可得线段中点的坐标为，
由，消去，可得．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
故选：D
例3．（25-26高二上·广东佛山·月考）已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 .
【答案】/
【详解】依题意可知，直线的斜率存在.
设直线的斜率为，
则，两式相减得，
整理得.
因为线段的中点坐标为，
所以.
故答案为：
例4．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为
【答案】
【详解】由题易知P在椭圆内，设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.
所以以P为中点的弦所在直线的方程，即；
故答案为：
例5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8，
(1)求椭圆的标准方程
(2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为，
，
椭圆的标准方程为；
（2）设 ，。
因为是的中点，所以：，
即：
点和都在椭圆上：
，
将 (1) 和 (2) 相减：
，
即：，
代入和，
，
即：，
因此，直线的斜率：，
直线过点，斜率为，
其方程为：，即.
例6．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆.
(1)求椭圆的短轴长和离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长.
【答案】(1)短轴长为，离心率为，
(2)，
【详解】（1）椭圆，即，
∴
∴椭圆的短轴长，
∵，∴，
∴椭圆的离心率.
（2）设，
则，即，∴，
∵点为弦的中点，则，即，
∴，即，
∵直线，即，
∴，
联立方程组，整理得，
则，
∴.
变式1．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆与斜率为的直线相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（ ）
A．16B．16或2C．4D．4或
【答案】C
【详解】由是椭圆弦AB的中点，得，解得，
设，则，
由两式相减得，
则，即，所以.
故选：C
变式2．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，联立得，
所以，所以线段的中点的横坐标为，
代入得，所以线段的中点为.
故选：B
变式3．（25-26高三上·云南昆明·月考）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ．
【答案】
【详解】由题意，直线的斜率存在，设，则，
因为点在椭圆上，所以，
两式相减得，，即，
整理得，即，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
即．
故答案为：.
变式4．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）某航天测控中心监测到一颗人造卫星的运行轨迹近似为椭圆，其方程为.该人造卫星（视作质点）在椭圆轨道上的A，B两点进行变轨操作，若线段AB的中点为，则直线AB的斜率为 ， .
【答案】
【详解】设，，则，.
由得，
则直线AB的斜率，
故直线AB的方程为，即.
由得，
方程的判别式，
则，，
所以，
故.
故答案为：，
变式5．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为.
(1)求a；
(2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，，，
且，
则，则，得；
（2）由（1）可知，椭圆C：，
设直线，，
联立，得，
则，
则，
因为为线段AB的中点，所以，，解得.
变式6．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点．
(1)求的离心率；
(2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由题可知，
解得，
则的离心率.
（2）由（1）可知的方程为，
设，
则，
则，
整理得.
因为弦的中点为，所以，
则的斜率.
考点二 以椭圆为背景的焦点三角形问题
例1．（25-26高二上·湖南长沙·期末·多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ）
A．的面积最大值为8B．的周长为12
C．的最小值为3D．的最大值为16
【答案】BD
【详解】由，所以，，，令，，
对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误；
对于B：的周长为，故B正确；
对于C：的最小值为，故C错误；
对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BD.
例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（ ）
A．的周长等于12
B．可能是等边三角形
C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10
D．若，则
【答案】AC
【详解】由题意可知，椭圆的长半轴长.
对于A，的周长， 故A正确；
对于B，若为等边三角形，又，则为的中点，由椭圆对称性可知，进而得出在轴上，又三点共线，则也在轴上，
与矛盾，所以不可能是等边三角形，故B错误；
对于C，若是椭圆的上顶点，则，设，则，
在由勾股定理可得 ，即，解得，
所以，，设，则，
在由余弦定理可得：，
即解得，即，所以，
所以的面积，故C正确；
对于D，若，则，
设，则，，由A可知，解得，
所以，，
在由余弦定理可得：，
所以，即，，所以 ，故D错误.
故选：AC

例3．（25-26高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为1B．椭圆的离心率为
C． 的周长为8D．的最大值为9
【答案】BCD
【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，，
对于A，焦距，故A错误；
对于B，离心率，故B正确；
对于C，，，
则的周长为，故C正确；
对于D，，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
例4．（25-26高二上·四川宜宾·期末·多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．的周长为12
C．的最小值为D．椭圆上不存在点P，使得
【答案】BCD
【详解】由椭圆方程可知：，，，
对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误；
对于选项B：的周长为，故B正确；
对于选项C：的最小值为，故C正确；
对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值，
此时，，可得，
则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确.
故选：BCD.
变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考·多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ）
A．B．的周长为
C．D．椭圆的离心率为
【答案】ACD
【详解】A选项，因为，所以,
则，由相似可得，故A正确；
B选项，因为直线过点，
则由椭圆的定义可知，的周长为，
又，故B错误；
C选项，因为为线段的中点，平分，所以，
因为，所以可设，，
则由椭圆的定义可知，，
则，得，
故，故C正确；
D选项，由C选项可知，，
在、中利用余弦定理可得，
，
即，得，
故椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ACD
变式2．（25-26高二上·青海西宁·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（ ）
A．的长轴长为5B．的离心率等于
C．D．的周长为16
【答案】CD
【详解】由题意知，
所以的长轴长为10，，
所以离心率为的周长为，
故AB错误，CD正确.
故选：CD.
变式3．（25-26高二上·宁夏中卫·期末·多选）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6B．的最小值为1
C．若，则的面积为D．椭圆的离心率为
【答案】AC
【详解】由椭圆方程：，可知，.
对于D选项，离心率为，D选项错误；
对于A选项，的周长为，A选项正确；
对于B选项，根据椭圆焦半径性质，，取等号条件是为长轴的两个端点，
由题知等号条件取不到，因此，无最小值，B选项错误；
对于C选项，不妨设，由椭圆的定义，则，
中，由余弦定理可得，
从而，即，，C选项正确.
故选：AC
变式4．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末·多选）已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．椭圆的方程为
C．的面积为D．的周长为
【答案】ABC
【详解】
由题可知，椭圆与双曲线的焦点在轴上，取第一象限的交点作为点，且，故，也在圆上，
设椭圆方程为：，则，，
设双曲线方程为：，则，，
由于，则，即，
联立，可得：
又因为，，在圆上，则，将上式代入，
可得，，
则，
故，，
对于选项A，由于，故选项A正确；
对于选项B，由于，，代入，得，故选项B正确；
对于选项C，由于，，在圆上，且，为直角三角形，则，故选项C正确；
对于选项D，由于，故选项D错误；
故选：ABC
考点三 以椭圆为背景的面积问题
例1．（25-26高二上·甘肃天水·月考）已知椭圆的右焦点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为；
（2）

由（1）知，的坐标为，则，
由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大，
故面积的最大值为
例2．（25-26高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由，可得，
所以直线：，

由 ，解得（舍），或，
所以.
因为，，
所以三角形的面积为.
例3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆：，所以，
所以椭圆的离心率为；
（2）由题直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入椭圆方程得，
设，则，
所以
又点A到直线的距离为
所以的面积为
例4．（25-26高三上·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，，，动点在曲线上，且满足.
(1)求曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，
即，
曲线的标准方程为：.
（2）由题意：设，直线方程为：，
联立得，由得，
，.
又.
设点到的距离为，
所以，
，解得或（舍去），
所以，.
变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知，，解得：，所以椭圆方程为；
（2）因为，所以：，联立，
得，解得或，
因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以，
所以四边形的面积.
变式2．（25-26高二上·广西百色·期末）已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)是定值
(3)最大值为，
【详解】（1）由题意，可得， 解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）是定值.理由如下：
由题意得点B坐标为，
设，∵P在椭圆C上，∴，
∵直线和的斜率都存在且不为0，则，，
∴，
所以直线AP和BP的斜率之积是为.
（3）如图，
设直线l的方程为，设，，
由，得，
∴，则，
且，，
则，
点A到直线MN的距离为，
则，
当且仅当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线l的方程为.
变式3．（25-26高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线交轨迹于两点，且的面积为1，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，知，
因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆，
即，即，又，则，
所以的标准方程为.
（2）不妨设两点的坐标分别为，
由消去得，
，得，
，
，
又原点到直线距离，
因此，
解得，所以.

变式4．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当的面积最大时，求直线的方程；
(3)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）因为，，所以.
如图：
设点所在直线，当直线与椭圆相切，且时，的面积取得最大值.
将代入，得，
整理得：，
由，
又，所以.
此时点坐标为：.
所以直线方程为：，整理得：.
（3）因为直线的斜率不能为0，可设直线的方程为：，
代入，整理得：.
设，，
则，，
所以，
所以.
由.
设，，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值5.
所以.
所以面积的最大值为：.
考点目录
以椭圆为背景的中点弦问题
以椭圆为背景的焦点三角形问题
以椭圆为背景的面积问题