湖南省衡阳市2025-2026学年高二期末质量监测数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省衡阳市2025-2026学年高二期末质量监测数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 已知抛物线：经过点，且为的焦点，为坐标原点.
(1)求抛物线的方程.
(2)设，为上两个不同的点，且三点不共线，直线，的斜率分别为，，且.
（i）试问直线是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线与轴的交点位于之间，设两点到直线的距离之和为，两点到直线的距离之和为，求的取值范围.
2. 如图，在三棱柱中，平面，，，，，，.
(1)求证：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
3. 的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若为钝角三角形，求的取值范围.
4. 已知点，点在圆：上运动，线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过圆心的直线与曲线相切，求直线的方程.
5. 已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
二、填空题
6. 已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.

7. 已知数列中，，，则________.
8. 已知有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，4个白球，这些球除颜色外，形状大小都相同.现从甲、乙两个盒子中各摸取一球，则摸取的两个球恰好一红一白的概率为________.
三、多选题
9. 已知，，点满足直线与直线的斜率之积为，记点的轨迹为，，为曲线的左、右焦点，若经过与交于，两点，，的内切圆分别与相切于，，半径分别为，，则下列结论正确的是（ ）
10. 设公比的等比数列的前项和为，，，则（ ）
11. 已知，，，下列说法正确的是（ ）
四、单选题
12. 双曲线：的右焦点为，设，过且斜率存在的一条直线与双曲线交于，两点.记直线，的斜率依次为，，若，则的取值范围是（ ）
13. 如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（ ）
14. ，用表示，中的最小者，记为.记的最大值为，表示不超过的最大整数，如：，，若，，则（ ）
15. 已知等差数列满足，，则其前30项和（ ）
16. 已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（ ）
17. 若点在直线上的垂足为，则（ ）
18. 设复数，且，则（ ）
19. 已知集合，，则（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．的方程为
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．若，则
A．
B．与平行的一个单位向量是
C．
D．平面的一个法向量是
A．
B．
C．
D．
A．12
B．
C．16
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．585
B．957
C．1020
D．1085
A．外离
B．外切
C．相交
D．内含
A．1
B．2
C．3
D．4
A．4
B．8
C．
D．
A．
B．
C．
D．