湖南省衡阳市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2 设复数 ，且 ，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. D.
3. 若点 在直线 上的垂足为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知圆 ： ，圆 ： ，则这两个圆的位置关系为（
）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
5. 已知等差数列 满足 ， ，则其前 30 项和 （ ）
A. 585 B. 957 C. 1020 D. 1085
6. ，用 表示 ， 中的最小者，记为 .记 的最大值
为 ， 表示不超过 的最大整数，如： ， ，若 ， ，
则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图，正四面体 的棱长为 4， 平面 ， 为垂足， ，延长 交 于
点 ，则 （ ）
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A. 12 B. C. 16 D.
8. 双曲线 ： 的右焦点为 ，设 ，过 且斜率存在的一条直线与双曲线交于 ， 两
点.记直线 ， 的斜率依次为 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A
B. 与 平行的一个单位向量是
C.
D. 平面 的一个法向量是
10. 设公比 的等比数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
11. 已知 ， ，点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，记点 的轨迹为 ，
， 为曲线 的左、右焦点，若 经过 与 交于 ， 两点， ， 的内切圆分别与 相
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切于 ， ，半径分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B.
C D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知有甲、乙两个盒子，甲盒中有 3 个红球，2 个白球，乙盒中有 2 个红球，4 个白球，这些球除颜色
外，形状大小都相同.现从甲、乙两个盒子中各摸取一球，则摸取的两个球恰好一红一白的概率为________.
13. 已知数列 中， ， ，则 ________.
14. 已知四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 分别为线段 ，
的中点， 是线段 上的一点， .若异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则三棱
锥 的体积为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 前 项和 .
16. 已知点 ，点 在圆 ： 上运动，线段 的中点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过圆心 的直线 与曲线 相切，求直线 的方程.
17. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
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（1）求 ；
（2）若 为钝角三角形，求 的取值范围.
18. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ， ，
， .
（1）求证： .
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
（3）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ?若存在，求 的
值；若不存在，请说明理由.
19. 已知抛物线 ： 经过点 ，且 为 的焦点， 为坐标原点.
（1）求抛物线 的方程.
（2）设 ， 为 上两个不同的点，且 三点不共线，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且
.
（i）试问直线 是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线 与 轴的交点位于 之间，设 两点到直线 的距离之和为 ， 两点到直线
的距离之和为 ，求 的取值范围.