湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高二上学期创新实验班期末质量检测数学试题（含答案）含答案解析

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共4大题，19小题.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
第I卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3 已知向量、满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 函数，记，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某单位有职工人，其中男职工人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为的样本，得出体重情况:男职工的平均体重为，女职工的平均体重为.则下列说法正确的是（ ）
A. 抽查的样本中女职工人数为
B. 该单位男职工的体重普遍比女职工重
C. 估计该单位职工平均体重为
D. 男、女职工被抽中的可能性均为
10. 如图，底面为边长是的正方形，半圆面底面.点为半圆弧(不含点)一个动点.下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的每个侧面三角形都是直角三角形
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 三棱锥的外接球的表面积为定值
D. 直线与平面所成最大角的正弦值为
11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分．已知过坐标原点．且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为．以下结论正确的有（ ）
A.
B. 曲线上存在点，满足
C. 若点是曲线第一象限上的点，则的面积的最大值为
D. 当点上时，不等式恒成立
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为___________.
13. 已知双曲线E：的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M，N两点（点F1位于点M与点N之间），且，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝|OP|，则双曲线E的离心率e为 __．
14. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
16. 如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．

（1）若平面，确定的位置.
（2）已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值．
17. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积；
（3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．
18. 已知函数，，．
（1）若在点处的切线平行于直线：，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，求证：对任意，恒有成立．
19. 已知无穷数列满足以下条件：①，当时，；②若存某项，则必有，使得（且）．
（1）若，写出所有满足条件；
（2）若，证明：数列为等差数列；
（3）设，求正整数的最小值．