解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)求；
(2)若，，为的中点，求.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，根据正弦定理，由，可得，
又，所以，
所以，
即，
即，又，所以，
所以，即，
又，所以；
（2）在中，由（1）知，又，，
由余弦定理，可得，即，
化简得，解方程得（舍）或，
又为的中点，所以，
两边同时平方，得，
即，
所以，即.
例2．（2026·湖南常德·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数.
(1)求；
(2)设的中点为，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）法一：
在中，因为，所以，
又，所以，所以，
且在内单调递增，所以，
又为整数，所以，即.
法二：
在中，因为，所以，
所以为锐角，，
假设，所以，
又在内单调递增，所以，
又，所以，与矛盾，
所以，
又为整数，所以，即.
（2）因为，所以，
即，
且，设，，由，可得
由于，，均为整数且，，解得，或，
解得，即，；
（另解：可化为，
由，为正整数，且，
所以，，即，）；
所以，.
在中，由正弦定理得，
所以，.
在中，由余弦定理得；
所以.
例3．（25-26高三上·浙江温州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)若，求边上的中线的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
即，
由正弦定理可得，
∵，∴，
又∵，
∴，
∴．∴.
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
变式1．（25-26高三上·浙江湖州·月考）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求的长度；
(2)求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）连接，则是的中位线，
故，且，
在中，，又，
故是等边三角形，
所以，
因为∽，所以，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
解得，则，
因为，所以，
在中，由勾股定理得，
因为∽，所以，解得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以的余弦值为.
变式2．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，所以，
因为为中BC边的中线，
所以，
则
，
所以.

变式3．（25-26高三上·辽宁大连·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以；
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为.
考点二 角平分线问题
例1．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)在（2）的条件下，求的角平分线的长.
【答案】(1)3
(2)
(3)
【详解】（1），，，
由得，.
（2）由（1）得，，
，或（舍去），
的面积.
（3）设，
则，，
，
.
例2．（24-25高一下·吉林·期中）在中，与的角平分线交于点D，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由题意可知，
由，
可知
，
所以，
．
因为，
所以．因为，所以．
（2）因为，所以，
所以，所以．
由余弦定理得，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以△ACD面积的最大值为．
例3．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即，
又∵，
∴，则有，
∴，
即，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得；
（2）由得，，所以，
由（1）知，，

由余弦定理得：，
因为，所以，
∴，
由得：，
∴．
变式1．（24-25高一下·四川遂宁·月考）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）解：
，
所以，，可得，
又因为，故.
（2）解：（i）因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
（ii）因为，即，
因此，.
变式2．（2025·四川遂宁·二模）在中，内角所对的边分别是且.
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
因为，可得，
所以，可得，
又因为，所以.
（2）由（1）知，又，
利用余弦定理，可得，
因为，所以，
所以的面积为，
又因为的角平分线交于点，
所以，
可得，
整理得.
变式3．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若的面积为.
①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
【答案】(1)
(2)①，②
【详解】（1）由正弦定理得，即.
由余弦定理得.
因为，所以.
（2）①，.
且，解得，或，.
由于，
所以，
；
②由，
得.
解得，
由于，当且仅当时，取等号，
故,当且仅当时，取等号，即的最大值为.
考点三 高线问题
例1．（2025·四川成都·二模）在中，角的对边分别是，且，且．
(1)求角的大小；
(2)D为AC上的一点，，且_____，求的面积；
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
①BD是角B的平分线；
②D为线段AC的中点．
(3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围．
【答案】(1)；
(2)选①②，答案均为；
(3)
【详解】（1）在中，，
结合正弦定理可得：．
由得，
，
∴，
∴，
，
又，，又，所以；
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，
则，
即，所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，故，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，
因此，，
因此，
设边上的高为，，
所以.
例2．（2025·四川自贡·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求a；
(2)若的面积为，求AB上的高CD．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）根据,，可知：
因为，即，
所以，即;
（2），解得，
则，解得，
则，代入，解得
例3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC边上的高AD的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）根据正弦定理可得，
又，∴．
∵,∴．
（2），∴，
当且仅当时取等号.
∵，∴，
∴，
∴，∴AD的最大值为.
变式1．（25-26高三上·山东青岛·月考）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，且的周长为，求边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
（2）由，且的周长为，可得，
又由（1）可知，，即，
所以，联立方程组，解得，
所以，
则，
所以边上的高为.
变式2．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，求中边上的高的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，，
整理得；
（2）因为，因为，由（1）可得，则，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
于是，
所以的最大值为，又，所以，当且仅当时等号成立，
即中边上的高的最大值．
变式3．（24-25高一下·福建南平·期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，，求边上的高；
(2)若的最大角是最小角的倍，判断的形状．
【答案】(1)
(2)直角三角形或钝角三角形
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，
即，
又，，则，
所以或（舍去），
所以，则，
由正弦定理，即，即，
所以，
即，
因为，所以，所以，
所以或（舍去），
则，所以，则，
所以，设边上的高为，
则，即，解得.
（2）由（1）可知，则，
若最大角为，则，又，即，解得，
所以，则，
此时为直角三角形，
若最大角为，则，又，即，解得，
所以，则，
此时为钝角三角形，
综上可得为直角三角形或钝角三角形.考点目录
中线问题
角平分线问题
高线问题