空间向量与立体几何：已知线面角、二面角、点到平面的距离求其他量专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高二上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足．
(1)证明：；
(2)若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．
例2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在多面体中，，为等边三角形，点为的中点，平面平面．

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例3．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
变式1．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形．
(1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
变式2．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值.
变式3．（25-26高三上·天津南开·月考）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求证：∥平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
考点二 已知二面角求其他量
例1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，平面.
(1)求证：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.
例2．（25-26高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点.
(1)设过点的平面与棱交于点，求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由.
例3．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，，，.
(1)求证：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
变式1．（25-26高二上·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，.
(1)若，求证：平面；
(2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由.
变式2．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：；
(2)若是边长为6的等边三角形，点在棱上，若二面角的大小为，求四面体外接球的表面积．
变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点.

(1)求证：；
(2)线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
考点三 已知点到平面的距离求其他量
例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．

(1)求证：；
(2)已知点C与平面的距离为，求的长度．
例2．（25-26高三上·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，平面.
(1)证明：平面PAC.
(2)在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
例3．（25-26高三上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2）
(1)求证：平面；
(2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．
变式1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD．
(1)求证：平面BCF；
(2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值．
变式2．（25-26高三上·四川内江·月考）如图，在四棱锥中，，平面平面， 为棱的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)若点在棱上，使得点到平面的距离是，求二面角的余弦值.
变式3．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面所成角的正切值．
(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．考点目录
已知线面角求其他量
已知二面角求其他量
已知点到平面的距离求其他量