专题七 空间向量与立体几何—2026年高考数学二轮复习讲练含答案

这是一份专题七 空间向量与立体几何—2026年高考数学二轮复习讲练含答案，共16页。试卷主要包含了棱柱，圆锥，圆台，多面体与球切、接问题的求解方法，面面平行与垂直的判定与性质，模、夹角和距离公式等内容，欢迎下载使用。
1.棱柱
体积：．(S为底面积，h为高)
表面积：
2．棱锥
体积：. (S为底面积，h为高)
表面积：
3．棱台
体积： (S、为底面积，h为高)
表面积：
4．圆柱
体积： (r为底面半径，h为高)
表面积：．(r为底面半径，l为母线长)
5.圆锥
体积： (r为底面半径，h为高)
表面积：．(r为底面半径，l为母线长)
6.圆台
体积： (r、r′为底面半径，h为高)
表面积：
7.球
体积： (R为球的半径)
表面积：
8.多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
（二）点，直线，平面之间的位置关系
1.线面平行与垂直的判定与性质
2.面面平行与垂直的判定与性质
（三）利用空间向量证明平行与垂直关系
1.利用向量方法证明平行与垂直
设直线l，m的方向向量分别为．平面的法向量分别为．
(1)线线平行
．
(2)线线垂直

(3)线面平行
(4)线面垂直
．
(5)面面平行
(6)面面垂直
.
2.向量法求空间角
（1）异面直线所成的角：设分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足．
(2) 线面角
设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足．
(3)二面角
①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小．
②如图(ⅱ)(ⅲ)，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足或.
(4)点到平面的距离的向量求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离．
3.模、夹角和距离公式
(1) 设，则，，．
(2) 距离公式
设，则
4.利用空间向量求线线角、线面角的思路
(1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即
(2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即
5.利用空间向量求二面角的思路
二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
6.利用空间向量求点到平面距离的方法
如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，n为平面的法向量，则B到平面的距离．
三垂线定理相关结论
三垂线定理：
平面内的一条直线，如果穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.
实战演练
1.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
2.若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A.l至少与a，b中一条相交
B.l至多与a，b中一条相交
C.l至少与a，b中一条平行
D.l必与a，b中一条相交，与另一条平行
3.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线m，n，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，，则
D.若，且，则
4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
5.四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为( )
A.5B.6C.8D.9
6.已知直四棱柱的底面为梯形，，，，若平面，则( )
A.B.C.D.
7.已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8.如图，已知多面体中，底面是边长为2的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为( )
A.B.C.D.
9.（多选）如图所示，在长方体中，若，E、F分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是( )
A.EF与垂直
B.EF与所成的角大小为
C.EF与平面所成角大小为
D.直线EF与平面平行
10.（多选）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则( )
A.B.C.D.平面
11.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E、F、G分别是、、的中点.则下列结论正确的是( )
A.平面
B.平面
C.平面与平面夹角的余弦值为
D.若动直线与直线夹角为，且与平面交于点M，则点M的轨迹构成的图形的面积为.
12.（多选）在正方体中，下列四个选项中正确的有( )
A.直线平面
B.每条棱所在直线与平面所成的角都相等
C.平面平面
D.直线平面
13.小明同学在吃完早餐以后，又在冷食店购买了某型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为圆锥形脆皮蛋卷桶，则下部脆皮蛋卷桶的面积为________________.
14.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线平面，直线平面，给出下列说法：①“”是“”的必要条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件；④“”是“”的充分条件.其中所有正确说法的序号是__________.
15.如图，直线在平面内，点C在平面外，直线与的夹角为，直线与平面所成的角为交.若平面与平面所成角的大小为，且，则的值为________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题可知圆锥的底面半径，母线长，高，圆锥的体积为.故选：A.
2.答案：A
解析：因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.
若l与a、b都不相交，则，，，与a、b异面矛盾，故A对；
当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.故选：A.
3.答案：B
解析：选项A，若，，，则n与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错；
选项B，若，，，则直线m，n的方向向量分别是平面，的法向量，两平面垂直，即为它们的法向量垂直，则，B正确；
选项C，若，，，，则可能有，也可能，相交，C错；
选项D，若，且，则或，D错.故选：B.
4.答案：A
解析：由题可知，，向量在向量上的投影向量为.故选：A.
5.答案：C
解析：设平面的法向量为，则，则，则点S到平面的距离为，又，，则点B到直线的距离为，则，故三棱锥的体积为.故选：C
6.答案：C
解析：如图，因为四棱柱为直四棱柱，，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，故易知，故，则，解得，则.故选C.
7.答案：B
解析：如图，
设的外心为M，过M作底面的垂线，使，则O为三棱锥的外接球的球心，在中，由3，，7，得，故，设的外接圆的半径为r，则，，.三棱锥外接球的表面积为.故选：B
8.答案：C
解析：以点A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
，可得，所以，，，所以，可得.故选：C.
9.答案：ACD
解析：如图所示：
A.连接，，则，由平面，平面，则，所以，故A正确；
B.由选项A知：EF与所成的角为，因为长度不定，所以EF与所成的角不确定，故错误；
C.易知平面，则平面，所以EF与平面所成角大小为，故正确；
D.由选项A知：，且平面，平面，所以直线EF与平面平行，故正确，故选：ACD
10.答案：CD
解析：取的中点O，连接，，由题意可知，因为平面，且平面，可得，，则，，即，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，可得，，，，设平面的法向量，则，令，则，，可得，
对于选项A：因为，即，不相互垂直，故A错误；
对于选项B：因为，即，不相互平行，故B错误；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：因为，所以平面，故D正确；故选：CD.
11.答案：ABD
解析：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，；
，，设是平面的一个法向量，则，令可得，，即.
对于A，，因为，且平面，所以平面，A正确；
对于B，，因为，所以平面，B正确；
对于C，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，C不正确；
对于D，设到平面的距离为d，，，由B可知平面，设平面，因为直线与直线夹角为，所以点M的轨迹是平面内，以O为圆心的圆，设圆的半径为r，则，则，所以点M的轨迹构成的图形的面积为，D正确.故选：ACD.
12.答案：ABD
解析：设正方体的棱长为1，如图，因为平面，又平面，直线，所以直线平面，故A正确；
在三棱锥中，，，所以三棱锥为正三棱锥，故，，与平面所成的角均相等，又正方体的其他棱均与，，中的一条棱平行，所以每条棱所在直线与平面所成的角都相等，故B正确；
连接交于点E，连接，，因为，均为等边三角形，所以，，所以为二面角的平面角，又，，所以，所以C错误；
由，，，平面，得平面，因为平面，所以，同理，，平面，所以直线平面，故D正确.故选：ABD.
13.答案：
解析：设球的半径为，，由已知可得，，解得，则可知下半部分为高为，底面半径为的圆锥，所以，圆锥的母线，所以，下部脆皮蛋卷桶的面积为即圆锥侧面的面积为.故答案为：.
14.答案：①
解析：对于①，由“”能推出“”，但由“”不能推出“”，所以①正确.对于②，由“”不能推出“”，所以②不正确.对于③，由“”不能推出“”，还可能相交，所以③不正确.对于④，由“”不能推出“”，所以④不正确.
15.答案：/0.6
解析：过点C作，且交于点O，过点O作，且交于E，
则直线AC与平面所成的角为，所以，不妨设，易得，则，又平面ABC与平面所成角为，
，则，则，中，，代入，可求得，故答案为：.
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行的判定定理
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行
线面平行的性质定理
一直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行
线面垂直的判定定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
线面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
面面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直