空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
例2．（25-26高二上·浙江温州·期末）如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
例3．（25-26高二上·河北唐山·期末）如图，和所在的平面垂直，且．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求点到平面的距离；
(3)求平面和平面夹角的余弦值．
例4．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，且，连接．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．
变式1．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，正方体的棱长为4，，分别是，中点，点在棱上，且．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
变式2．（25-26高三上·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且.
(1)证明：平面平面ABCD.
(2)设，三棱锥的体积为.
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值.
变式3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)若直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.
变式4．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

(1)证明：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
考点二 空间距离的向量求法
例1．（25-26高三上·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
例2．（25-26高三上·天津河东·期末）如图，四棱锥中，底面为梯形，，，底面，，、分别为、的中点．
(1)证明平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
例3．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面的距离．
例4．（20-21高二上·山东·月考）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，．
(1)证明：；
(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
变式1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．

(1)求证：；
(2)已知点C与平面的距离为，求的长度．
变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥中，底面，，.，，

(1)试问为何值时，平面？并予以证明.
(2)若，
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式3．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离.
变式4．（25-26高二上·吉林长春·期末）在四棱锥中，底面ABCD，，，，M是PD中点.
(1)求证：平面PAB；
(2)若，
①求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面MAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.考点目录
空间角的向量求法
空间距离的向量求法