专题16 空间向量与立体几何试题（含答案）-2026年高考数学二轮复习专题巩固

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考点01：法向量的秒杀
方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平面垂线的方向向量即为平面的法向量．
方法2、待定系数法：步骤如下：
①设出平面的法向量为．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量
，．
③根据法向量的定义建立关于的方程组
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．
方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.
1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则平面的法向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．或
C．D．或
4．已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A．B．C．D．
5．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（ ）

A．B．
C．D．
7．已知，若平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为（ ）
A．B．
C．D．或
9．已知，，，则平面的一个法向量是（ ）
A．B．C．D．
10．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ）
A．B．
C．D．
考点02：空间直角坐标系构建策略
①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系
②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系
③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系
④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系
⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系
11．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小；
12．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
13．如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点D到平面的距离．
14．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)．
(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离．
15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，.

(1)求证：.
(2)若㫒面直线与所成的角为，求四棱锥的体积.
16．如图，为正方体．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
17．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
18．如图，直三棱柱中，，，，，是的中点．
(1)求直线的一个方向向量；
(2)求证：．
19．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
(1)求证：；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
20．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面．
考点03：坐标处理距离问题
结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》
推导过程：已知直线的方向向量是，点则直线与直线夹角为θ，则
结论2：《点面距离》
提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量
结论3：《线面距离》
提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量
结论4：《面面距离》
提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量
结论5：《点点距离》
提示：与,的距离为
21．如图的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，BD//CE，，BC=BD=1，为上的点.

(1)证明：；
(2)当为的中点时，求点到平面的距离.
22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的余弦值．
23．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且．
(1)求四棱锥的表面积
(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离．
24．如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
25．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.

(1)证明：；
(2)当为线段的中点时，求点到面的距离.
26．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，PB=PD，，点E，F分别为棱，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的大小为.
①求二面角的余弦值；
②求点F到平面的距离.
27．如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．
(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．
28．如图，在四面体中，平面，点在线段上.

(1)当点是线段中点时，求点到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值.
29．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，．
(1)求到平面的距离．
(2)与平面平行吗？请说明理由．
30．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
考点04：坐标处理角度问题
结论1：异面直线所成角
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出
关键是求出及与
结论2：线面角
提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角
结论3：二面角的平面角
提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.
31．如图，在四棱锥中，，底面为正方形，，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
32．如图，在四棱锥中，为的中点，平面．
(1)求证：；
(2)若，．
（i）求证：平面；
（ii）设平面平面，求二面角的正弦值．
33．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．

(1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；
(2)求点到平面的距离；
(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
34．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.

(1)求证：平面；
(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
35．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4．
(1)求到平面的距离；
(2)设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．
36．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
(1)证明：平面.
(2)求二面角的正弦值.
37．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
38．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点．
(1)设AE与平面DGH相交于点M，求的值；
(2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．
39．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动.
(1)求证：.
(2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离.
(3)在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由.
40．如图，平行六面体的体积为，，，，．
(1)求点A到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值．
考点05：坐标处理平行问题
线线平行：两个向量存在一定的倍数关系
线面平行：先求平面的法向量，然后法向量与线垂直即可
面面平行：先求其中一平面的法向量，然后让法向量与另一个平面垂直即可
41．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
42．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.
43．如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．
(1)求证：平面；
(2)已知：条件①平面，条件②，条件③平面平面，从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定，并求二面角的余弦值．
44．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是棱PC的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．
45．如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
46．如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求点C到平面的距离．
47．已知四棱锥分别为的中点，平面.
(1)若，证明：平面；
(2)若，二面角的大小为，求.
48．如图，在三棱柱中，平面平面，，分别为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
考点06： 坐标处理垂直问题
线线垂直：两个向量乘积等于0
线面垂直：线与平面中任意两条相交直线乘积等于0
面面垂直：求两个平面的法向量，然后两个法向量乘积等于0即可
49．如图所示，是的直径，点是上异于的动点，平面，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角的正弦值为，求.
50．如图，在平行六面体中，，
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
51．如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.
(1)证明：平面平面PAE；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
52．在长方体中，点E，F分别在，上，且，．

(1)求证：平面AEF；
(2)当，，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值．
53．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．

(1)求证：平面平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
54．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
55．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；
(3)在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.
56．如图①，在等腰梯形中，，，，，分别是线段的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线，折起，使得点和点重合，记为点，如图②.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面PAE与平面所成锐二面角的余弦值.