数列：恒成立求参数问题、新定义问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高二上·河南开封·期末）已知数列满足，，数列满足．
(1)求，的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围．
例2．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.
（i）求；
（ii）若，恒成立，求实数的最小值.
例3．（25-26高二上·湖北武汉·期末）设是等差数列，其前项和，是正项等比数列，且.
(1)求与的通项公式；
(2)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，求数列的前项和.
例4．（25-26高二上·山西·月考）已知数列的前项和．
(1)求的通项公式．
(2)设，记数列的前项和为．
（i）求；
（ii）若对任意恒成立，求的取值范围．
变式1．（25-26高二上·天津河北·期末）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和；
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
变式2．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
变式3．（24-25高二下·陕西·期中）设数列的前项和为，已知数列满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
变式4．（24-25高二下·黑龙江·月考）正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
考点二 数列新定义问题
例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列．
(1)若数列是“”数列，求的值；
(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
(3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
例2．（25-26高二上·河南开封·期末）若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，，其中常数．
(1)当时，写出、的值；
(2)证明：是等比数列；
(3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式．
例3．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知函数，数列满足，，．
(1)当时，求；
(2)若为等差数列，求的取值构成的集合；
(3)将（2）中集合的元素从小到大排序，取其前个数（为偶数），再重新排序后得到新数列：．记，求的最大值．
例4．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数，数列满足，数列的前项和为，且，．
(1)分别求，的通项公式；
(2)定义，为实数的整数部分，为小数部分，且记，求数列的前项和．
变式1．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”.
(1)若数列的前项和为，且，.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明：数列是“因分数列”；
(2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比.
变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）若数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”.
(1)已知是正项等比数列，是等差数列，且，，.设.
（i）求数列的通项公式，并证明是“凸数列”；
（ii）求数列的前项和；
(2)设正项数列是“凸数列”，求证：任意，，有
其中.
变式3．（25-26高二上·北京·期末）已知有穷数列，的项数均为，，若对任意，都有（规定），则称数列，是“相关数列”．
记数列的前项和为，．
(1)时，已知数列，，判断数列和是否为“相关数列”，并说明理由；
(2)数列，是“相关数列”，证明：对任意，都有，这里表示和中较小的数；
(3)求最小的整数，使得存在“相关数列”，，满足．
变式4．（25-26高三上·辽宁·期中）设，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”．
(1)若数列，，，，具有性质“”，求实数的取值范围；
(2)设数列的通项公式为，则是否存在，使得数列具有性质“”？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由；
(3)设函数，正项数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小．考点目录
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数列新定义问题