数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设．
(1)求的通项公式．
(2)设，求．
(3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值．
例2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交x轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.是函数关于的“数列”，记.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)证明中不存在个不同的项、、成等差数列；
(3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，设的前项和为，是否存在，当时，恒有?若存在，求的最小值，并证明你的结论.
例3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求．
例4．（25-26高三上·天津滨海·月考）已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新的数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 的值.
变式1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和．
变式2．（25-26高三上·天津和平·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)数列的前项和为，对于数列，，在和之间插入数列的前项，组成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求.
变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等比数列的前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列
①求数列的通项公式；
②在数列中是否存在不同的3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.
变式4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为.
(1)若，求；
(2)若，求正整数的最小值；
(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由.
考点二 数列新定义问题
例1．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知数列，定义数列的伴随数列为，其中.记，，其中，表示集合中最大的数，表示集合中最小的数.
(1)已知数列，求和；
(2)若，，，求的最小值；
(3)若，，求的最大值.
例2．（2026·河北邢台·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列.
(1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列；
(2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式；
(3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
例3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知集合，数列：，：，
其中，且当时，，，当时，．
(1)若，求的值；
(2)当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由；
(3)若数列中有项为奇数，求的最大值．
例4．（25-26高二上·天津·期末）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推.
(1)当，时，求；
(2)求的最小值（用含的代数式表示）；
(3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）.
变式1．（25-26高三上·北京朝阳·期末）设为正整数且，若由实数数对组成的序列满足对任意，均有，则称为一个序列．若对一个序列，存在有序实数组（其中）使得，则称为一个序列．
(1)已知序列，判断序列是否为序列？序列是否为序列？说明理由；
(2)当时，判断是否存在序列不是序列？若存在，请举出一个符合要求的序列；若不存在，说明理由；
(3)若任意序列均是序列，求的所有可能取值．
变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组；
(3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：．
变式3．（25-26高三上·北京西城·期末）已知项数列的各项均为正整数．若存在，使得满足以下两个条件：①对任意；②对任意奇数．则称数列具有性质．
(1)判断下面两个数列是否具有性质；（结论不要求证明）
数列A：1，2，3，1，2，3，2，1；
数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1．
(2)已知数列具有性质，且，判断中是否存在5项，其值均为2？若存在，给出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由；
(3)若数列具有性质，证明：．
变式4．（25-26高三上·北京海淀·期末）对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列.
对有穷数列，令数列.
若，则称为阶完美数列.
(1)写出所有的2阶完美数列；
(2)若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数；
(3)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由.考点目录
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