数列的插项问题、公共项问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份数列的插项问题、公共项问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，
因为，所以，解得或（舍去），
因为，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由题意可得，，
则，
故数列单调递增，不难发现，
故满足题意的m的最小值为6.
例2．（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列的前n项和为；正项数列的前n项和为，且（且）.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列为等差数列；
(3)在数列的和项之间插入k个数，使这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，，
两式相减得，，所以，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）正项数列的前n项和为，且，所以，
即，因为，所以，
则，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
（3）依题意，，，
，，
，
所以，
即，
则，
两式相减可得，
，
所以．
例3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项.
(1)求数列及的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.所以.由题意知.所以，即，
又，则.
所以.又，则，则.
（2）
，①
，②
①-②得，
.
所以.
例4．（25-26高三上·河北邯郸·月考）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)求与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）设第次构造后得的数列为，
则，
则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，，2，
则，即与满足的关系式为；
（2）由，可得，且,则
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即；
（3），
所以
变式1．（25-26高三上·上海普陀·月考）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为数列满足，，
则当时，，且，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，，故.
（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，
假设数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，
则，即，即，
由已知可得，所以，，
事实上，
，
即，矛盾，假设不成立，
故不存在这样的三项、、成等比数列.
变式2．（25-26高三上·江苏徐州·月考）若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.
【答案】(1)是等方差数列；数列不是等方差数列；理由见解析
(2)1622
【详解】（1）是等方差数列；数列不是等方差数列；理由如下：
对于数列：，有，
故数列是等方差数列；
对于：，，
因为不是常数，故数列不是等方差数列；
（2）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故，而，所以；
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，
令，结合，解得，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.
变式3．（25-26高三上·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和为，且：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，
时，时，.
，
，
（2）由（1）得，由题得，
变式4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
考点二 数列公共项问题
例1．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，，
所以，
当时，由①，
得②，
①②得，所以，
当时，，可得，也满足，所以.
（2）因为，
，
当为偶数时，，
此时被除余，为数列中的项；
当为奇数时，，
此时被整除，不为数列中的项，
所以，
.
例2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
(1)求，，，及的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，，，.
(2)①，；②不存在，理由见解析.
【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除，
所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，
所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为，
则，，，，.
（2）①由，得，易得，，，
由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故；
在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故.
②不存在，理由如下：
由题意，即，所以.
假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列，
则，即，化简得.
又因为，所以，
可得，即，
又因为，代入可得，
化简得，则有，即，这与题设矛盾.
所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列
例3．（25-26高三上·上海静安·月考）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围；
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)．
(3)①证明见解析；②不存在，理由见解析
【详解】（1）当时，，，
令，则，解得或，
当时，，当时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），
令，依题意，当时，恒成立，
由，得，，
又因为，所以，
① 当时，，所以在上单调递增，
，不合题意；
② 当时，令，解得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减．
若要使恒成立，则需使，解得，
故此时；
③ 当时，因为，，故在单调递减，
则，符合题意；
综上，实数a的取值范围为．
（3）①，，故，
构造函数，，则
易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即．
②，则，(*)，
设，即，代入(*)可得，
设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，，
故，整理得到，该方程无正整数解．
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
例4．（25-26高三上·河北·月考）已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求的通项公式；
(3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为.
令，，
得
化简得，解得.
（2）由（1）得，
当时，所以，
两式相减得，
化简得，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以.
（3）数列的项为，数列的项为
公共项需满足，即，
设，则公共项为.
所以
变式1．（24-25高二下·湖南株洲·月考）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和．
【答案】(1)
(2)682
【详解】（1）因为，，
所以，解得（负值舍去），
所以．
（2）设的第项与的第项相等，
则，即，．
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则．
故．
变式2．（24-25高二上·河南·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.
(1)求和的通项公式；
(2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
所以当时，，
所以，
所以，所以，又，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
因为点在函数的图象上，所以，即，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以；
（2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以
.
变式3．（2025·山东青岛·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，．
(1)求的通项公式；
(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为
因此对任意正整数，即
因为，所以，
所以，是首项为2，公比为3的等比数列，
所以
（2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以
因为，所以，即
因为,所以,则的值为
所以，可得
变式4．（25-26高三上·江西南昌·月考）等差数列的前n项和为，数列满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．
【答案】(1)，
(2)4231
【详解】（1）因数列是等差数列，则，得，
又，所以，所以等差数列的公差，
则，
因，
则当时，，
两式作差得，即，
令，得，则，满足上式，则，
综上，数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，且，
经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为，
从而数列中去掉的是这4项，
所以.考点目录
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