函数与导数：恒成立求参数问题、零点问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由题意，x需满足且，解得，
，因为，
所以的符号由分子决定，记分子为，
令，则，所以，
这是关于的二次函数，开口向上，
若，则，又，由零点存在定理，存在使得，
对应，此时，且在时，即，
故在单调递减，，与题设矛盾；
当时，，故，在单调递增，
，满足条件；
综上所述，的最大值为2．
故选：B．
例2．（25-26高三上·山东青岛·期末）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式 ，
可化为，
当，有 ，
因此原不等式恒成立等价于对任意恒成立，
因为，所以对任意恒成立，
设 ，则需 .
，
故 在 上单调递增， ，
因此，.
故选：A
例3．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数有两个不同的极值点和）恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意知的定义域为，
且，令，得，此方程有两个不相等的正根，
则即，
，
又，则恒成立，
因为函数在上单调递增，
故，即，所以．
故答案为：．
例4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】原不等式等价于恒成立，
设，，因为，所以，
令，，为增函数，
又，，所以存在唯一，使得，
即，.
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以的最小值为.
实数的取值范围为.
故答案为：
例5．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知函数，其中，且．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数；
(3)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)．
【详解】（1）当时，，
，
所以，即.
（2）函数等价于，则即，
令，则转化为的解的个数，，
当时，单调递增；当时，单调递减．
则在处取得极大值，也是最大值，
当时，；当．
当时，，解得，1个零点；
当时，与有1个交点，此时1个零点；
当时，与有2个交点，此时2个零点；
当时，与有2个交点，此时2个零点；
综上，当或时，1个零点；当或时，2个零点．
（3）恒成立恒成立．
当时，，不符合题意；
当时，，因为曲线与关于直线对称，
所以.
令，
令，又因为单调递增，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以时，取极小值点，也是最小值，
所以的最小值为，其中，
由，得，即，所以．
综上可得，所以的取值范围是．
例6．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数.
(1)若，求在区间上的单调递增区间；
(2)若，对，求的取值范围；
(3)若，证明：有且只有个极值点.
【答案】(1)和
(2)
(3)证明见详解
【详解】（1）当时，函数为，求导得：
单调递增区间满足，即
在区间内，不等式的解为：或，
所以在区间上的单调递增区间为和.
（2）当时，函数为，，且；
对求导：，
当时：
因为，所以，
且（因，故，
在上单调递增，则，与矛盾，故不成立，
当时：
令，得，记（记为），
时，则，故，
在上单调递增（因，在上单调递减，
则，与矛盾，故不成立，
，则，故，当时，，
则因，
故在上单调递减，，符合条件，
综上的取值范围为.
（3）当时，的定义域为，
求导得，当时，，不等式恒成立；
令，求导得，当时，，
，则在上递减，；
当时，，求导得，令，
求导得，函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，即；
，
当时，，，在上递增，，
当时，令，求导得，
函数在上单调递减，则函数在上单调递减，
而，函数，即在上单调递减，
而，则存在，使得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，，在上单调递减，，
因此当时，（当且仅当时取等号），当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，也是唯一极值点，
所以函数有且只有1个极值点.
例7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)试证明不等式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由 得 ，
。
可化为 ，
令 ，则 。
令 得 ， 得，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ；
（2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立），
下证 ，即证 ,
因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故.
又不能同时取“”，所以 .
法二：要证明不等式；令，，
只需证，
由，得，
当时，，当时，，
所以在单增，在单减，
所以，
，因为，
所以.
变式1．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】任意的，都有，
则有在上恒成立，
令，函数定义域为，
，令，解得，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
，
因此存在，使，
令，，令，解得，
时，在上单调递增；
时，在上单调递减，
有，
所以时，的最大值为.
故选：C
变式2．（25-26高三上·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不等式
，令函数，显然函数在上单调递增，
依题意，不等式恒成立，即，
令函数，求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，，，
所以实数k的取值范围是.
故选：B
变式3．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由不等式可知，令，
对，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取得极大值也是最大值，
又时，，时，，所以.
又，
所以原不等式可化为，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，所以要使对任意成立，则在区间内不能取得使的值，
由函数性质可知，当时，会出现负值，故须满足，解得，
又，所以，即实数的取值范围为，
故答案为：.
变式4．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】对，有，所以，
所以不等式左右两侧同时除以，
所以，
转化为关于的一元二次不等式，所以，
令，，，
，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以；
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
因为，故对任意的，则，
故当时，，，
由可得，
故，故，即实数的取值范围是.
故答案为：.
变式5．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若在上有唯一零点，求的取值范围；
(3)当时，若在上恒成立，求实数的最大整数值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)4.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，由得，，
令，依题意，直线与函数的图象有唯一公共点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
因此当且仅当或时，直线与函数的图象有唯一公共点，
所以的取值范围是.
（3）当时，，不等式恒成立，
令函数，求导得，令函数，
求导得，函数在上单调递增，而，，
则存在，使得，即，当时，，即；
当时，，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，则，
所以实数的最大整数值为4.
变式6．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数.
(1)若，，求函数的单调区间及极值；
(2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值；
(2)
【详解】（1）当，时，，函数的定义域为，
所以，令，得，
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数，
所以的极大值为，无极小值，
所以函数的单调增区间是，单调减区间是，
极大值为，无极小值；
（2）由，，得，则，故，
由，可得，
又∵，由上式可得在上恒成立，
令，可得，
令，解得，
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数，
∴，所以，
故实数b的取值范围是.
变式7．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论在R上的单调性；
(3)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1).
(2)答案见解析；
(3)
【详解】（1）当时，函数，求导可得，
则有,
则在处的切线方程为，即.
（2）易知，
当时，，故恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得,
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可知时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）不等式即为，
即对任意的恒成立，
设，易知，
令，
则，因为，所以,
因此，因此在上单调递增；
又，
当时，即时，，即在上恒成立，
因此在上单调递增，所以恒成立，满足题意；
当时，，由可得；
此时，
易知当时，，
即在上单调递减，所以存在，这与对任意的恒成立矛盾，
综上可得的取值范围为.
考点二 零点问题
例1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，
令，则，
由得；得；
则在单调递增，在上单调递减，则，
因为时；时，且时，
所以的函数图象如图：
因为不是的根，
所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，
但方程的两根的乘积为，
所以一个根位于，另一根位于，
则，得，
故的取值范围是.
故选：C
例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，则，
当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意；
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，当，，
所以，在，上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：C.
例3．（25-26高三上·河南·月考）若函数且没有零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，则，
若，即，此时或恒成立，
则在上单调，
当时，，此时，所以，所以；
当时，，此时，所以，所以.
综上所述，，
所以由零点存在定理可知，
当时，在区间上存在一个零点，不符合题意，
当时，在区间上存在一个零点，不符合题意，
若，即，
令，解得，即，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递增，
综上，在上单调递增，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
若，则存在零点，不符合题意；
若，则为的零点，不符合题意；
故，即，又，
故，即，则.
设，，，则，
令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
①当时，等价于，故.
由上可知，当时，单调递增，
且，此时的取值范围是；
②当时，等价于，故，
由上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
故此时的取值范围是.
综上所述，的取值范围是.
例4．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围 .
【答案】
【详解】由题意，当且仅当，即时取等号，
所以在上单调递增.
因为有两个零点，所以有两个根，
所以有两个根.
令，则上式可化为，
因为，所以在上为奇函数，
所以.
因为在上单调递增，所以在上也单调递增，
所以，即，
设，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
因为有两个零点，即方程有两个根，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
例5．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数，其中.
(1)证明：在区间上存在唯一的极小值点；
(2)若在定义域内不存在零点，求的取值范围；
(3)当有两个不同的零点时，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，
．因为且，所以恒成立，故在上单调递增．
当时，，因为，所以，
从而．任取极小正数，则，
根据零点存在定理，存在使得．
由于单调递增，故是唯一的，且当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，因此，是在上的唯一极小值点．
（2）由（1）可知，在上先减后增，其最小值为，
其中满足．若在定义域内不存在零点，则必有最小值大于0，
即．由可得，即，
故设，其中，
则．因为，所以恒成立，
故在上单调递减.
又，要使得，即，
由单调性可知必须有．令，则．
当时，，故单调递增，因为，
所以，即，也即．
故的取值范围是．
（3）由可得，等价于．
不妨令，则，解得，则，
也即．设，．
当时，且，故，函数单调递增；
当时，且，故，函数单调递减．
有两个不同零点，不妨设，则等价于方程有两个不同根，
其中．由的单调性可知0.
要证明，即证明，即．
代入得，即．因为，所以．而，
且在上单调递减。所以等价于．
又是方程的根，满足，
故只需证明对任意成立，
设，其中，
则，
.
不妨设，则．
设，其中
因为，所以，且各项系数均为负．故在上恒成立，
即在上单调递减，又，
所以当时，在上单调递减．
又，所以当时，．又，且，
所以，即，则在上恒成立，
在上单调递减．，故，
即．也即，又，
得，且在上单调递减，可得，
即．故成立
例6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数.
(1)若存在极值，求a的取值范围；
(2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），，
当，即时，，在上单调递增，没有极值，
当，即时，令，可得，此时函数单调递增，
令，可得，此时函数单调递减，
所以函数在处取得极大值，没有极小值，符合题意，
故a的取值范围为.
（2）当时，，，
设，
因为，，
所以在上单调递减，
因为，，
所以在存在唯一零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在上存在唯一极值点，且，
由，
，
令，，
由，；，，
则在上单调递增，在单调递减，即，
故，即，故，
故在和上各有一个零点，
所以时，函数有且仅有两个零点．
例7．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)是否存在正实数，使得仅有1个零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，
【详解】（1）的定义域为，
，
①当时，因为，所以.
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，，
解得或（舍去），
当时，，所以的单调递增区间为，
当时，，所以的单调递减区间为，
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，
在单调递增，
当时，，当时，，
由题意，当仅有1个零点时，，
令，则
即，
化简得：，
令，则，
所以在上单调递增，且，
所以方程（）的解为，
从而，解得，
所以，存在满足条件的，且.
变式1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由函数恰有3个零点，得函数的图象与直线有3个公共点，
函数，当时，求导得，
由，得；由，得，
当时，求导得，由，；
由，得，函数在上递增，在上递减，
因此函数在处取得极小值，在处取得极大值为，
作出函数的大致图象，如图，
观察图象，当且仅当或，即或时，
函数的图象与直线有3个公共点，即函数恰有3个零点，
所以实数m的取值范围是.
故选：D
变式2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数有且仅有2个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
，则，
当时，恒成立，函数在上单调递增，最多有一个零点，不符合题意；
故，则有两个不相等的实数根，
又，
若函数有且仅有2个零点，
则可知的一个极值点为零点，
故存在，满足，由②得
代入①得，
，
解得，
代入②得，
324，
设，
当时，，
，
而此时，
故.，
于是的极值均为正数，故可知有且仅有一个零点，
而，，故，此时0，
可知有两个零点，
即有两个极值点，符合题意.
故选：C.
变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数在上存在零点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】，
令 ，
，
令，
，
所以 在 上单调递增，
端点值：，，
当 时：由 在 上单调递增，得，
又 ，故 在 上恒成立，
从而 ， 在上单调递增，
又 ，所以 对恒成立，
在上无零点；
当 时：由 在 上单调递增，
得，
又 ，故 恒成立，
从而 对恒成立，
在上单调递减，
又，所以对恒成立，
在上无零点；
当时：由，，
则存在唯一的使，即，
在上，递减，；
在上，递增，；
故在 上单调递减，又因，
可知在上恒为负，故，
要使在上存在零点，
只需：，
解得：，
综上：.
故答案为：
变式4．（2026·新疆·一模）若函数有唯一零点，则 ．
【答案】1
【详解】因为函数的定义域为，且，
可知函数为偶函数，
若函数有唯一零点，则，解得，
若，则，，
令，则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
且，则，
可知在定义域内单调递减，且，
当时，则，即；当时，则，即；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以函数有唯一零点，即符合题意，
综上所述：.
故答案为：1.
变式5．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)判断函数在上的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，上单调递减
(3)答案见解析
【详解】（1）
当时，，
则，切点为，
，
切线方程为：，化简得，；
（2）当时，，
当时，，所以，
所以，函数在上单调递增，
当时，，所以，
所以，函数在上单调递减；
（3）令，
当时，，即不是函数的零点，
当时，可得，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，设，
则，
则在上单调递减，故，
从而，所以在上单调递增，
故，
综上所述，当时，函数有2个零点，
当时，函数有1个零点，
当时，函数无零点.
变式6．（25-26高三上·山西太原·期末）已知函数（）.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数零点个数；
(3)若，（）是函数的两个零点，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，则，
，，，
在点处的切线方程为，
即，即.
（2）令，因为，所以，，
令，，则，
令，则；令，则或；
的递增区间为，递减区间为和；
是的极小值，是的极大值，
当时，；当时，且，
则的零点个数即为与的交点个数，
当时，与无交点，即函数无零点；
当或时，与有且仅有个交点，即函数有1个零点；
当时，与有个交点，即函数有2个零点；
当时，与有个交点，即函数有3个零点.
综上可得，当时，函数无零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
（3）由题意得，，
，，是方程的两个正实数根，
由（2）可知，在上单调递增，
在单调递减，且，要证，
需证，只需证，
，只需证，即需证，
两边取对数，整理得，
令，，则，
在上单调递增，，
成立，
变式7．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知函数，其中．
(1)证明：在区间上存在唯一的极小值点；
(2)若不存在零点，求a的取值范围；
(3)当有两个不同的零点，时，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，求导得，
因为，，均是上的增函数，所以在上单调递增．
又，当时，，
根据零点存在定理，存在唯一的，使得．
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，因此是在上唯一的极小值点．
（2）由（1）可知，的最小值为，其中满足．
若在定义域内不存在零点，则．
由，可得，即，故．
易知函数在上单调递减，
又，要使得，即，必须有．
令，则，
当时，，故在上单调递增，
因为，所以（1），即，
则，故a的取值范围是．
（3）由，可得，等价于．
令，则，所以，．
设，则，
易知在上单调递减，
又，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
有两个不同的零点，，等价于方程有两个不同的实数根，，
其中，．
不妨令，则由的单调性可知，
要证明，即，，即．
因为，所以，而，又在上单调递减，
只需证明，即证明对任意成立．
设，，
则．
构造函数求导可证，当且仅当时，等号成立，
所以当时，有，，所以，
因此，当时，恒成立，在上单调递减，
所以当时，，即，
也即．故原不等式成立．考点目录
恒成立求参数问题
零点问题