利用导数研究恒成立问题、函数新定义问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，证明：有2个零点；
(3)若，求的取值范围.
例2．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
例3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，.
(1)若存在正数，使得，求实数的取值范围；
(2)设在处的切线方程为.
①求的解析式；
②当时，恒成立，求的取值集合.
例4．（2026·河南濮阳·一模）已知.
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)若，都有，求实数的取值范围.
变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数，
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围．
变式2．（25-26高三上·河南新乡·期末）已知函数，为实数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，讨论的零点个数；
(3)对，恒成立，求的取值范围．
变式3．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；
(3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值．
变式4．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知函数，，．
(1)若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
(2)证明：时，函数在上有唯一的零点；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围．
考点二 函数新定义问题
例1．（2025·陕西·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”．使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”．
(1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，设为连续函数”，若，，求的值；
(3)已知是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且，恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数．
例2．（25-26高三上·上海·期末）已知函数的定义域为，且函数图像连续不断，若它的任一函数值都恰好被取到次，则称是阶覆盖函数，若它的任一函数值都被取到无数次，则称是阶覆盖函数．
(1)若是1阶覆盖函数，求实数的取值范围；
(2)已知函数图像连续不断，请证明是阶覆盖函数．
(3)证明：不存在2阶覆盖函数．
例3．（2026·湖南邵阳·一模）若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．
(1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；
(2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：．
例4．（24-25高三上·贵州遵义·月考）对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点，已知函数其中a，.
(1)当时，
（i）求的极值点；
（ii）若存在既是的极值点，又是的不动点，求b的值；
(2)若关于的不等式的解集为，且中有且仅有一个整数，求实数a的取值范围.
变式1．（2026·河南南阳·模拟预测）若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数.
(1)证明：为“2积轴函数”.
(2)已知函数.
（i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由.
（ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围.
变式2．（2025·四川德阳·一模）关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；.
(1)求在点处的切线方程；
(2)若在是凸函数，求实数的取值范围；
(3)若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：.
变式3．（25-26高三上·广东汕头·期末）某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意与任意，总有成立.
(1)设，求证：；
(2)设，求证：；
(3)某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中均为正数.
变式4．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若函数在其定义域内给定区间上存在实数，使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．
(1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由；
(2)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对．考点目录
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