数列恒成立问题、数列新定义问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知数列满足，（为常数）．
(1)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(2)在（1）的结论下，当为递增数列时，证明：．
例2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)求数列 的前n项和；
(3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
例3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前项和为，若对于任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
变式1．（24-25高三下·天津宝坻·月考）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；
(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
变式2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
变式3．（2025·河南郑州·三模）已知数列的首项，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
考点二 数列新定义问题
例1．（2026·辽宁大连·模拟预测）对于一个项递增正整数列，如果对任意不全为的，均有，则称是一个“数列”，如果一个数列的每一项都不大于常数，则称该数列为“数列”．
(1)求“数列”的个数；
(2)若数列是“数列”，求的最小值；
(3)若常数，证明：对任意的“数列”，（2）中的最小值无法取到．
例2．（25-26高三下·北京·开学考试）若项数列同时满足．则称为“阶数列”．
(1)若等比数列为“6阶数列”，写出的各项；
(2)若等差数列为“阶数列”（且，），求的通项公式（用表示）；
(3)记“阶数列”的前项和为，若存在，使，判断数列能否是“阶数列”？若是，求出所有这样的数列；若不是，请说明理由．
例3．（2026·河南濮阳·一模）给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
(1)已知数列为“指数型数列”，若，求；
(2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
例4．（25-26高三上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，，数列满足：，且，分别为数列第二项和第三项.
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和；
(3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，直接写出数列的通项公式（不用说明理由）.
变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期末）若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”．
(1)请写出所有第二项为的“3-好数列”；
(2)若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值；
(3)若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值．
变式2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）数列中的项，若存在奇数，使得均不为偶数，则称数列为阶除序列．
(1)数列为阶除序列，当，求出所有的；
(2)已知，对任意的，恒有，求证：数列是5阶除序列．
变式3．（25-26高三上·陕西西安·期末）任意正整数都可以写成一个或多个连续正整数的和（一个数的和即等于自身），若存在多种写法，取其中加数最多的写法，并记这种写法中加数的个数为，最大的加数为.例如：，根据定义有.
(1)求.
(2)将满足的正整数从小到大排列，依次记作，将满足的正整数从小到大排列，依次记作.
（i）求数列的前项和；
（ii）求数列的前项和.
变式4．（25-26高二上·山东青岛·期末）设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和（）后剩余的项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是-可分数列.
(1)写出所有的，，使数列，，…，是-可分数列；
(2)当时，证明：数列，，…，是-可分数列；
(3)从1，2，..，中任取两个数i和j（），记数列，，…，是-可分数列的概率为，证明：.考点目录
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