函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
(2)若，，求的单调区间.
【答案】(1)
(2)递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）.
【详解】（1）函数，求导得，
由曲线在点处的切线与轴平行，
得，，
此时，直线方程为，该直线与轴平行，符合题意，
所以.
（2）当时，的定义域为，
求导得，
函数在上都递减，
则函数在上递减，
而，
因此存在，使得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）.
例2．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），
①当时对任意，，，故恒成立，
因此在上单调递增；
②当时令，即，解得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
（2）当时，在单调递增，无极值，不符合题意；
当时，在处取得极大值，
极大值为，
依题意有，解得，所以a的取值范围为．
例3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，，
，
令，解得，（舍），
所以当，，单调递增；
，，单调递减；
又因为，，，
且，其中，
所以的值域为．
（2），
令，，，
若，，在单调递减；
若，，所以当，，单调递增，
当，，单调递减；
若，，所以当，，单调递增，
当，，单调递减．
综上，当时，在单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
例4．（25-26高三上·山东青岛·期末）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．
附：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1），
当时，（不恒为零），故的增区间为，无减区间；
若，则当时，，
当时，，
故的增区间为，减区间为，
综上：时，的增区间为，无减区间；
时，的增区间为，减区间为.
（2）因为是的极值点，故，故，
所以，而，
故，
整理得，
而，故，
整理得，
故，故，
而，故，即.
变式1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)极大值为，极小值为；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
求导得，由，得或；
由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，极小值为.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
变式2．（2026·湖南永州·一模）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若，且当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【详解】（1）由题意得，
①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减；
②当时，令，，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
若恒成立，则有，
①若，即时，则在上单调递减，则，
由得，此时前后矛盾，故舍；
②若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
则，
由得，解得，
综上所述，的取值范围是.
变式3．（2026·广西·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
当时，可得，此时在上单调递增，
当时，令，，
令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
（2）由题意得，
令，则，
令，，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
则的极小值为，而，
可得，即得证.
变式4．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当，即时，当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为.
考点二 恒成立求参数问题
例1．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数.
(1)若时，曲线与轴相切，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）由题意得，
因为曲线与轴相切，所以设切点为，
则，解得，
又因为，所以，解得.
（2）由题意得的定义域为，，
当时，恒成立，在上为增函数，
当时，若，，在上为减函数，
若，，在上为增函数；
综上，当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数，在上为增函数
（3）方法一：由题意得当时，恒成立，
等价于恒成立，得到，
令，则，解得，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
则，故.
方法二：当时，恒成立，等价于恒成立
由（2）可知：①当时，在上为增函数，
，则，无解
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
得到，解得.
例2．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在，对任意恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）由题意可知，，
令，得
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）令，可得，
令，，因为，所以，
所以在单调递减，
要使得对任意的恒成立，
所以，即，
因为存在实数，使得成立，
所以，即，
所以的最大值为.
例3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，.
(1)若存在使得成立，求的取值范围；
(2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：存在使得成立，
即存在使得成立
设，，
令，，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
，
方法二：，，
①当时，，函数在上单调递增，因为，
所以总存在使得成立
②当时，令解得；令解得，
故此时函数在上单调递增，在上单调递减，
因为存在使得成立，
，
综上所述，；
（2）由（1）可知，当时，在恒成立，
所以函数在恒成立，
方法一：问题转化为在恒成立，
设，，，
设，当，，
在单调递增，
当，，
故，在单调递增，
根据洛必达法则，，
，
；
方法二：设，，
①当时，
在恒成立，在单调递增，
，即在恒成立，
②当时，
由，解得，在单调递增，
由，解得，在单调递减，
，
即在不能恒成立，舍去；
综上所述，.
例4．（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值.
(1)求函数的解析式及在点处的切线方程；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
∴；
所以，，
，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最大值为，
∴，解得，
所以的取值范围是．
变式1．（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值.
(1)求的值；
(2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，
所以，依题意可得，解得.
当时，定义域为，且，
所以当或时，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极小值，所以符合题意.
（2）由题意在上恒成立，所以只需，
由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
因为，所以，
即，所以.
变式2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）因为函数，
所以，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以恒成立，所以．
（2）由（1）知恒成立，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，所以（其中）．
即，则，
所以．
（3）恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立，
令，
所以，
令，即，整理得：
令，所以在恒成立
所以在上单调递增，因为
所以使得，即
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为，
所以，
令函数，因为在上单调递增，
所以，即
所以，
所以，所以实数的取值范围是．
变式3．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知函数，函数，
(1)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得的定义域为，
因为，所以，
所以切线方程为，
则，
令，
化简得，
则，令，，
令，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
所以是极小值点也是最小值点，得到，
即成立，可得，
故得证.
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
令，且满足题意，
而，
令，
则，令，
则，
则在上是增函数，即在上单调递增，
得到，当时，，
此时在上单调递增，即在上单调递增，
则，可得在上单调递增，
得到恒成立，原不等式恒成立，
当时，则，
又，
得到，
则由零点存在性定理得，存在，使得，
当时，，此时在上单调递减，
即在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
即在上单调递增，而，
则当时，，此时在上单调递减，
可得，不合题意，
综上，的取值范围是.
变式4．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有极值，且的最大值大于，求的取值范围；
(3)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）函数的定义域为，又，
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上可得，当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为有极值，由（1）知，，且在处取得极大值，即最大值，
故，即为，
令，则，所以在上单调递增，
且，所以当时，即，故的取值范围为；
（3）由恒成立，，得恒成立，
令，，所以，
令，，则，所以在上单调递增，
又在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，
故存在唯一的使得，当时，，当时，，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，且，
由，则，所以，
设，，
所以在上单调递增，，即，所以，，
故，
所以，即，
所以的取值范围是.
考点三 能成立求参数问题
例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在使得成立，求的取值范围；
【答案】(1)取得极小值为，无极大值.
(2)详解见解析
(3)
【详解】（1）当时，，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以，
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，令得或，
①当时，，，所以在单调递增，
②当时，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
③当时，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，
若，则，即，不符合题意；
当时，在单调递减，
，则，解得，
又，所以；
当时，所以在单调递增，，不符合题意；
当时，，
①当时，在单调递增，在单调递减，
由题意得，
即，恒不成立，故无解，
②当时，在单调递减，
，则，解得：，不满足题意；
当时，在单调递增，，不符合题意；
所以的取值范围是.
例2．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知函数，.
(1)若是的极小值点，求；
(2)若存在，使，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
因为是极值点，所以，即，，
此时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以是极小值点，
综上，.
（2）法1：
研究命题的否定，即，，
所以，解得（成立的必要条件），
下面证明：时，在恒成立.
因为，
令，则，
所以在递减，在递增，
所以，即证.
所以，使得，则.
法2：
由题意，有解，
令，所以，
设，
因为，所以在上单调递减，且.
所以，；，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，
所以.
法3：
由题意，在有解，
令，则，
①当时，则，满足题意；
②当时，因为存在使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值.
因为，所以.
令，所以，
所以在上单调递减，且，
所以的解为.
因为，所以；
综上，.
例3．（2025·北京海淀·三模）已知．
(1)当时，求函数的极值点和极值；
(2)时，求函数在上的最小值；
(3)若不等式的解集非空，求a取值范围．
【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值；
(2)
(3)
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
由得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值；
（2）因，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，则，
因，则，，
则存在使得，
故时，；时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，则，
故函数在上的最小值为.
（3）由题意可知，使得成立，
即使得成立，
又，则，即，
故a的取值范围为.
例4．（24-25高二下·甘肃张掖·月考）已知函数为的导数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，所以0，
即切线的斜率，且，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意知，
且的对称轴为直线，
所以当时，.
由（1），设，则，
所以，
当时，；
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又，所以在区间上只有一个零点，
设为，且当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
所以当时，，
所以，即，
因此，实数的取值范围是.
变式1．（24-25高二下·重庆渝北·月考）已知函数，且，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)递减区间是，递增区间是；
(2).
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，由，得，
即，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，，不等式，
令，，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，依题意，存在，成立，即，
所以实数b的取值范围是.
变式2．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．
(2)，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数的导数为，
即有曲线在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，可得，解得；
（2）因为，使得成立，
即，使得成立，
由，则，
当，即时，
此时显然不满足，
当，即有，，
令，，则，
由于，所以，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，解得，
则实数的取值范围是．
变式3．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在，使成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
，所以曲线在处的切线的斜率，又，
切线方程为.
与轴的交点分别是，
切线与坐标轴围成的三角形的面积·
（2）存在，使即，即.
即存在，使成立.
令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可·
下面求函数在区间的最小值.
，
令，因为，
所以为上的增函数，且.
在恒成立·
在递调递增，
函数在区间的最小值为，
，得.
变式4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上：时在上单调递增.
时在上单调递增，在上单调递减
时在上单调递增，在上单调递减.
（2）若在区间上有解，即求
当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时在上单调递增，在上单调递减
当时，所以函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以不成立，舍去
时在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以
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