重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共13页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 数列的单调性及其应用（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 数列的周期性及其应用（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 的最值（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 的最值（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 定义法求最值（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc326" 题型六 函数法求最值（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 8
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 9
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 9
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 13
一、数列的概念及表示方式
1、数列的有关概念
2、数列的表示
（1）一般形式：，，，…，，…
（2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。
3、数列的通项公式
（1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，
那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
二、数列的分类
三、数列的函数性质
1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。
3、判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：
⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列．
（2）作商比较法：
ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列；
ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；
⇔数列是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：
写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
四、求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
五、由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
六、数列的通项an与前n项和Sn的关系
①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.


题型一 数列的单调性及其应用
【技巧通法·提分快招】
1．设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．设无穷等比数列的公比是q，能说明命题“若存在正整数，当时，，则为递增数列”是假命题的一组，的值为 ， ．
5．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是 .
6．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
7．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列中，，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，证明：．
8．已知在数列中，，，，求证：
(1)是单调递减数列；
(2)对任意的，都有．

题型二 数列的周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
1．设数列满足：，，那么等于（ ）
A．B．2C．D．
2．在数列中，若，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2025·陕西榆林·二模）已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，则前40项和的最小值为 .
5．（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列满足，，，则的个位数字是 ．
6．（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为

题型三 an的最值
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的首项为，若的前n项积，则（ ）
A．数列有最大项，无最小项B．数列无最大项，有最小项
C．数列有最大项，有最小项D．数列无最大项，无最小项
3．已知数列的通项公式为，若存在正常数，使得对一切都成立，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．23B．12C．20D．
6．已知数列通项 ，那么数列最大项为 .
7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.

题型四 Sn的最值
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·云南昭通·月考）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
3．设等差数列满足，且其前项和有最大值，则当数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（ ）
A．12B．11C．23D．22
4．（2025·广东深圳·三模）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40B．41C．42D．43
6．设等差数列满足：且公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 ．
8．在等差数列中，，，则该数列的前 项的和最小．
9．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
10．（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 .

题型五 定义法求最值
1．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的通项公式是，数列最大项是 ．
3．已知数列的通项公式为，求数列的最大项．
4．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．

题型六 函数法求最值
【技巧通法·提分快招】
1．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．B．的前项和中最小
C．使时的最大值为9D．的最大值为0
4．设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 .
5．已知数列满足，则的最小值为 .
6．已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 .
7．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项.
8．若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A．B．0C．D．2
2．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．3B．5C．6D．9
3．（2025·福建厦门·三模）已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项D．没有最大项也没有最小项
6．（2024·山西太原·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A．15B．17C．20D．22
7．（2025·湖北·一模）已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（ ）
A．27B．26C．25D．24
8．（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4B．9C．10D．12
9．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
12．（23-24高三上·河南·期末）已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
13．（23-24高三上·重庆·月考）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项B．第9项
C．第11项D．第12项
14．已知递增数列的首项，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15．（多选题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
16．（24-25高三上·福建福州·期末）（多选题）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．为递增数列
B．为递减数列
C．当或时，的值最大
D．使得成立的的最大值是4038
17．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选题）已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项B．数列中有最小项
C．若，则D．若，，则取最小值时
18．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列B．可能为常数列
C．若为递增数列，则D．若为递增数列，则
19．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中的最小项为
20．（24-25高三下·重庆·月考）设正整数数列满足，则 ．
21．已知数列满足，，设，则的最小值为 .
22．（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 .
23．已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
25．已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
26．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，试求数列的最小项．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（ ）
A．B．C．D．
2．记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（ ）
A．为单调数列B．为递增数列
C．有最大值D．有最小值
3．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）
A．0B．22C．26D．31
4．已知数列满足，，则的最大值为（ ）
A．420B．380C．342D．6
5．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若数列为常数列，则或
C．若数列为递增数列，则
D．当时，
6．（24-25高三下·湖南长沙·月考）（多选题）设数列满足，，其中为实数，数列的前项和是，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是等比数列
B．当，时，数列是递增数列
C．当，时，不存在使是周期数列
D．当，时，
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ．
8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
9．设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则
数列
按一定次序排列的一列数叫做数列
项
数列中的每一个数叫做这个数列的项
首项
数列的第1项常称为首项
通项
数列中的第项叫做数列的通项
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
其中n∈N+
递减数列
常数列
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
解决数列的单调性问题的方法
用作差或作商比较法，根据an+1－an的符号或an+1an与1的关系判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
解决数列周期性问题的方法
（1）先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
（2）若an＋k＝an(k∈N*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an+1；若an最小，则an≤an－1，an≤an+1.
1、公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
2、在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
解决数列的最大项与最小项问题的常用方法
（1）将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项及最小项.
（2）通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项.