函数与导数：极值点偏移问题、导数新定义问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)已知函数有两个零点，，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
例2．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)记函数．
（i）若，存在两个相异的正实数满足，求证：；
（ii）若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围．
例3．（25-26高三上·河南·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，函数有两个零点，，求证：.
例4．（25-26高三上·河北·月考）设函数，且存在极值点.
(1)求的取值范围；
(2)讨论的零点个数；
(3)讨论的“所有零点之和”与“所有极值点之和的2倍”的大小关系，并说明理由.
变式1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.
变式2．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
变式3．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数有三个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
变式4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，.
(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个零点，求证：.
考点二 导数新定义问题
例1．（25-26高三上·宁夏银川·期末）定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）．
(1)若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围；
(2)证明：函数在上为“下凸函数”；
(3)已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）．
例2．（25-26高三上·江苏·期末）已知函数，．
(1)当时，
①证明：时，；
②求函数的极值点个数；
(2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值．
例3．（25-26高一上·新疆喀什·期中）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意实数，都有，则称是区间上的下凸函数，是的下凸区间；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数，是的上凸区间.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)证明：对任意，，不等式恒成立；
(2)求函数的上凸区间和曲线的拐点；
(3)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明函数的图象关于拐点中心对称.
例4．（24-25高三下·广东深圳·开学考试）帕德逼近是法国数学家享利帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，，
注：，，，
已知函数在处的阶帕德逼近为
(1)求的解析式;
(2)比较与的大小;
(3)证明：
变式1．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上有解，求的取值范围；
(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
变式2．（24-25高三上·福建漳州·月考）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
变式3．（24-25高三上·广西·月考）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．
如果是区间上的连续函数，并且，那么
(1)求；
(2)设函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
变式4．（25-26高三上·湖南株洲·月考）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)设为实数，讨论方程的解的个数.考点目录
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