函数与导数：指对幂比较大小问题、根据指对幂函数零点的分布求参数问题 专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
因为在上为增函数，,
所以，即，
因为，
所以，即
故选：D
例2．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，即.
所以，即.
又因为函数在R上是单调递减函数，因为，所以，
所以，即，
所以，又因为，所以，
由函数是R上单调递增函数，所以，故.
故选：B
例3．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，，，令，则，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以，所以，所以.
故选：A.
例4．（25-26高一上·天津河东·月考）已知，，，则的大小关系为 ．
【答案】.
【详解】因为对数函数在上单调递减，，因此，
因为指数函数在上单调递减，，且，因此，
因为对数函数在上单调递增，，因此，
综上，.
故答案为：.
例5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则a，b，c的大小关系为 .
【答案】
【详解】由题意，
故a，b，c的大小关系为.
故答案为：.
例6．（25-26高三上·广东广州·月考）已知，则的大小关系是 .（用“>”）
【答案】
【详解】由，
所以，而，
故，同理可得，则.
故答案为：
变式1．（25-26高三上·山西临汾·月考）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】可知，即，
，即，
，且，即，
所以，即．
故选：D.
变式2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得，所以，
令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
当时等号成立，所以，
又，
所以，
故选：A
变式3．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，，
则，
设，
则，
设，
则，
当时，，所以在上单调递减，
则，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
即，所以.
故选：D
变式4．（24-25高三下·北京·开学考试）已知，，，则三个数由大到小的排列顺序为 ．
【答案】
【详解】，
令，易知为上的增函数，
且，所以.
故答案为：
变式5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）若，则实数由小到大排列为 < < .
【答案】 b c a
【详解】依题意，，而，
令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，而，于是，
又，所以.
故答案为：b；c；a
变式6．（25-26高三上·江西宜春·月考）设，，，则 > > (填a，b，c)．
【答案】 c a b
【详解】因为，，
设，则，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，所以，
故，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，故，
又，因为函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：；；.
考点二 根据指对幂函数零点的分布求参数问题
例1．（25-26高三上·河北石家庄·月考）设函数，若关于的方程 有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，作出函数有图象，再作直线，时，满足题意，
由图知，，∴，即，
由得，因此，
，易知函数在时是增函数，
所以，
故选：D．

例2．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为， ，
当时，或，
故当时，，
当时，，
当时，，
当时，.
因为方程有3个不同的实根，
所以有3个不同的交点，如图，

由可得，
又，解得，
所以.
故选：A
例3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数 若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】ACD
【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同的实数解，等价于函数的图象与直线有4个公共点，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点，
即方程有四个不同的实数解，A正确；
因为二次函数图象对称轴为，因此，B不正确；
当时，，由，，得，因此，C正确；
当时，，由，得，解得，
且，则，有，所以，D正确.
故选：ACD
例4．（25-26高三上·江西赣州·月考）已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
例5．（25-26高三上·河北张家口·月考）已知函数，若方程有4个解分别为，且，则 .
【答案】10
【详解】作出函数的大致图象，如下：

可知，且当时，有2个解；
，
得；
当时，由有2个解，根据图象的对称性，得.
.
故答案为：10.
例6．（25-26高三上·四川内江·月考）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】解：当时，，则的图象关于对称，
不妨设，
如图所示：

由图象知：，，
所以，，，，
所以，
，
，
令，
则.
故答案为：
变式1．（25-26高三上·福建福州·月考）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；
②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；
③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．
则在上有两个零点，此时必须满足，解得．
综上，得或．
故选：A
变式2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，
且，由题：，，
设则
，令，
故在递增，在递减，.
故选：A.
变式3．（25-26高三上·江苏南京·月考）设函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程的实数根为
B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
【答案】ABC
【详解】A.当时，令，得或；
当时，令，得，解得：或，
所以方程的实数根为-2，0，，2，故A正确；
B.如图，若方程有3个互不相等的实数根，则与有3个交点，则，故B正确；
C.如图，当时，，根据抛物线的对称性可知，
当时，有，即 ，所以，即，所以.
因此.
由的实数根并结合函数的图象，可知.
因为函数在上单调递增，且当时，；当时，，
所以，所以的取值范围为，故C正确；
D.如图，由C的说明可知，，，若方程有3个互不相等的实数根，则.
当时，方程有4个互不相等的实数根，分别为，.
所以，则的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
变式4．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是B．
C．的最小值是D．越大，的值越大
【答案】BCD
【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误.
对于选项B：因为，所以，
所以，则B正确.
对于选项C：由图可知，所以，
当且仅当时，等号成立，则C正确.
对于选项D：在上单调递减.
因为越大，越小，所以的值越大，则D正确.
故选：BCD
变式5．（25-26高三上·福建泉州·月考）设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有四个零点．
则方程化为，
设的两根为，
因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．
令
所以，解得：，
综上：实数的取值范围为
故答案为：
变式6．（25-26高三上·广东清远·月考）设函数若关于的方程有四个实根，，，且，则 ，的最小值为 .
【答案】
【详解】画出的图象如下图所示.
由图可知，其中.
因为，即，
整理得.
且，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
又因为
，
当且仅当时等号成立，此时.
所以的最小值为.
故答案为：；
考点目录
指对幂比较大小问题
根据指对幂函数零点的分布求参数问题