利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵①，
当时，，∵，∴，
当时，②，
由②-①，可得，
即，
∵，∴，即是首项为3，公差的等差数列，
所以，满足此式，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则，
于是，
即得证.
例2．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，，且.
(1)求证：是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，
则当时，，
两式相减得，，
所以，即
因为，则，所以，
所以是等差数列，且公差为.
（2）当时，，
即，解得或（舍去）.
由（1）知，.
所以.
所以，
，
两式相减得，
即，
所以.
例3．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知数列满足，，记数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，
可得，，
两式相减可得，
即，，
又当时，符合上式，
所以，，
即，，
（2）由（1）可知，
所以，
则，
两式相减可得：，
即，
化简可得：
例4．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知数列的前n项和为，，（）．
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得：（），
两式相减得：，即（），
又时，，（），
是以为首项，公比的等比数列，.
（2），
，
，
易知，随n增大而增大，的最小值是，
由恒成立，可得，故的取值范围是.
变式1．（25-26高二上·广东韶关·期末）已知数列的前项和为，且点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点在函数图象上，
所以.
当时，，解得；
当时，，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为
（2）解：由，可得，
则，
则，
两式相减，可得


所以.
变式2．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，①，
②，
①②得，，所以，
也满足．
综上，．
（2）由题可知，
所以
．
变式3．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
当时，，
因为不满足上式，所以.
（2）因为，所以
，
所以.
变式4．（25-26高三上·山东德州·期末）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【详解】（1）由题得，且，则有，
递推后联立，得，
化简得，即，故，
故数列的通项公式为.
（2）由题得，则
因为，则，所以，
易得为递增数列，故，即，
故，得证.
考点二 构造法求数列通项
例1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
由，得.
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.
所以，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，所以，
所以.
所以.
随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为.
因为，所以.
综上，.
例2．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的通项公式．
(3)设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）数列中，，，
当时，，则，当时，，则，
因此数列均是公比为4的等比数列，，
所以数列的通项公式是.
（2）在数列中，，当时，，
当时，，两式相减得，，
当时，，
即，因此当时，数列是常数列，
，整理得，显然满足上式，
所以数列的通项公式是.
（3）由（1）（2）得，显然且数列是递增的，
由成等差数列，得，
假设，则，即，整理得，
设，则，
因此数列是单调递增数列，则，即与矛盾，
于是假设不成立，所以成立.
例3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则.
（2）由（1）可得，
所以
所以
（3）由（1）可得

易知在上单调递增，且恒成立，所以
故得证.
例4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，，所以，
由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以，
当时，.
验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知.
设的前项和为，则当为偶数时，
.
当为奇数时，，
设的前项和为，则.
因为，所以
变式1．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知数列中，.
(1)求；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，得，故为常数列.
，故.
（2）
故
变式2．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，.
由，则，
则，
化简得，所以，，
所以，，
则为常数列．
因为，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
所以，
由随的增大而减小，故，
故，
即.
变式3．（25-26高三上·福建莆田·月考）设数列的前项和为，已知，且
(1)求数列的通项公式;
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），则，故，
当时，，，
两式相减得到，即，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
，故，
时满足，故.
（2），，
，即，
设，且，，
在上单调递增，故函数在上单调递增，
当趋近时，趋近，故，故.
变式4．（25-26高三上·河北唐山·月考）已知为数列的前项和，是公差为1的等差数列．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，数列的最大项为，求的值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)2或3．
【详解】（1）由题设，得，
因为是公差为1的等差数列，
所以．①
所以，②
②－①，得，即，
所以，又，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，所以．
（2）由（1）知，，
所以．
解法一 ，（点拨：作差，，所以只需考虑的正负即可）
当时，，即；当时，，即；
当时，，即．所以，且，
所以数列的最大项为，故的值为2或3．
解法二 ，（点拨：作商，判断与1的大小关系）
令，解得；令，解得；令，解得．
因为，所以，且，
所以数列的最大项为，故的值为2或3．考点目录
利用an与Sn的关系求数列通项
构造法求数列通项