函数与导数：零点问题、双变量问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知函数．
(1)在单调递减，求m的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，求m的取值范围．
例2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．
例3．（2026·云南·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若，都成立，求的取值范围；
(3)若函数，证明有且仅有两个零点．
例4．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数.
(1)求的单调区间与极值点；
(2)讨论的零点个数.
变式1．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数.
(1)若直线为曲线在点处的切线，求实数的值；
(2)若有3个零点，求实数的取值范围.
变式2．（25-26高三上·安徽·月考）（1）证明：当时，．
（2）已知函数有两个极值点和三个零点，其中
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：．
变式3．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围.
变式4．（25-26高三上·内蒙古通辽·月考）已知函数有两个零点
(1)求a的取值范围；
(2)记，为的两个零点，证明：
考点二 双变量问题
例1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若且，证明：.
例2．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知函数，，，且．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若曲线和存在公切线，求a的取值范围；
(3)若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围．
例3．（25-26高三上·江西新余·月考）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数a的取值范围；
(3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围．
例4．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值；
(2)若函数有三个零点，，，且．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
变式1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：；
(2)若在单调递增，求的取值范围；
(3)若且，证明：.
变式2．（25-26高三上·山东济宁·月考）设函数
(1)分析的单调性和极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
(3)若，且满足时，证明：.
变式3．（25-26高三上·天津滨海·月考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，求证：．
变式4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.考点目录
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