备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练25利用导数研究函数的零点（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练25利用导数研究函数的零点（附解析人教A版），共6页。试卷主要包含了已知函数f=xex-2等内容，欢迎下载使用。

(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)零点的个数.
2.(2024·河北唐山模拟)已知函数f(x)=ex(x+2),g(x)=x2+3x+2.
(1)证明:当x≥0时,f(x)≥g(x);
(2)若函数h(x)=f(x)-4ex-m有两个零点,求m的取值范围.
3.(2024·四川成都模拟)已知函数f(x)=xe-x+asin x,e是自然对数的底数,若x=0恰为f(x)的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在区间(-∞,)上零点的个数.
4.(2024·北京陈经纶中学模拟)已知函数f(x)=xex-(x+1)2(m≥0).
(1)当m=0时,求函数f(x)的极小值;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,求m的取值范围.
课时规范练25 利用导数研究函数的零点
1.解 (1)由题意可得f'(x)=(x2-1)ex-a.
因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b,
所以解得
(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex[(x-1)2-],令g(x)=(x-1)2-,则f(x)零点的个数就是g(x)零点的个数.
由于g'(x)=(x-1)(2+),所以当x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
又g(0)=1>0,g(1)=-<0,g(2)=1->0,所以g(0)g(1)<0,g(1)g(2)<0,由零点存在定理可得,∃x1∈(0,1),使得g(x1)=0,∃x2∈(1,2),使得g(x2)=0,故函数f(x)有两个零点.
2.(1)证明 令k(x)=f(x)-g(x)=ex(x+2)-x2-3x-2,则k'(x)=ex(x+3)-x-3=(x+3)(ex-1),因为x≥0,所以k'(x)=(x+3)(ex-1)≥0,故k(x)单调递增,又k(0)=2-2=0,故f(x)-g(x)≥0,即f(x)≥g(x).
(2)解 h(x)=ex(x+2)-4ex-m=ex(x-2)-m,令h(x)=0,得ex(x-2)=m.函数h(x)=f(x)-4ex-m有两个零点,即直线y=m与函数y=ex(x-2)的图象有两个不同的交点.
令w(x)=ex(x-2),则w'(x)=ex(x-1),当x>1时,w'(x)>0,当x<1时,w'(x)<0,所以w(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此w(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,且w(1)=-e,又当x<2时,w(x)=ex(x-2)<0恒成立,当x→+∞时,w(x)→+∞,当x→-∞时,w(x)→0,要使函数h(x)=f(x)-4ex-m有两个零点,则m∈(-e,0).
3.解 (1)由题意得f'(x)=+acsx,因为x=0为f(x)的极值点,故f'(0)=1+a=0,所以a=-1,此时f'(x)=-csx.
当x<0时,1-x>ex>0,故当x<0时,>1,所以f'(x)>0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增.
f'(x)=-csx=,令g(x)=1-x-excsx,则g'(x)=-1-ex(csx-sinx),当00,则g'(x)<0,则g(x)在(0,)内单调递减,故g(x)(2)由(1)知f(x)=xe-x-sinx,f'(x)=-csx,当x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,则f(x)综上所述,f(x)在区间(-∞,)上零点的个数为1.
4.解 (1)当m=0时,f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-
(2)若m=0,f(x)=xex,令f(x)=0,解得x=0,当x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.
若m>0,由f'(x)=(x+1)(ex-m),令f'(x)=0,解得x=-1或x=lnm.
①若m=,此时f'(x)≥0,可得f(x)在R上单调递增,且f(-1)=-<0,f(1)=e->0,此时函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.
②若m>,可得lnm>-1,令f'(x)>0,可得x<-1或x>lnm,令f'(x)<0,可得-10,函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点;当m时,f(1)≤0,函数f(x)在区间(-∞,1)上无零点,故③若00,可得x>-1或x0,f(lnm)=-(lnm)2-<0,此时函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.
综上可得,实数m的取值范围为[0,).