2026届高考数学一轮总复习提能训练练案52椭圆第1课时

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案52椭圆第1课时，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值为( )
A．5 B．3
C．5或3 D．20
[答案] C
[解析] 因为焦距是2，所以c＝1，当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝m－4＝1，解得m＝5，当焦点在y轴时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝4－m＝1，解得m＝3，故选C．
2．(2024·福建百校联盟联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2eq \r(3)，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为( )
A．3 B．4
C．1 D．2
[答案] D
[解析] 依题意，椭圆短轴长为2eq \r(3)，得b＝eq \r(3)，则a2－c2＝b2＝3，又|MF|的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3(a－c)，所以a＝2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D.
3．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知椭圆G：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
[答案] C
[解析] 设P(x0，y0)，则有eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，即有yeq \\al(2,0)－3＝eq \f(－3x\\al(2,0),4)，由椭圆方程可得其短轴端点坐标分别为(0，eq \r(3))、(0，－eq \r(3))，则kAP·kBP＝eq \f(y0－\r(3),x0)·eq \f(y0＋\r(3),x0)＝eq \f(y\\al(2,0)－3,x\\al(2,0))＝eq \f(－\f(3x\\al(2,0),4),x\\al(2,0))＝－eq \f(3,4).故选C．
4．(2024·福建泉州二模)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，则该椭圆的焦距为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(6)
C．2eq \r(6)或eq \r(3) D．2eq \r(3)或eq \r(6)
[答案] D
[解析] 若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝eq \f(\r(a2－3),a)＝eq \f(\r(2),2)，得a2＝6，此时焦距2c＝2eq \r(6－3)＝2eq \r(3)，若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝eq \f(\r(3－a2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，得a2＝eq \f(3,2)，此时焦距2c＝2eq \r(3－\f(3,2))＝eq \r(6)，所以该椭圆的焦距为2eq \r(3)或eq \r(6).故选D.
5．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知椭圆C：eq \f(x2,λ)＋eq \f(y2,4)＝1(λ>0且λ≠4)，则“C的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，是λ＝8”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当焦点在x轴时，e＝eq \r(\f(λ－4,λ))＝eq \f(\r(2),2)，
解得λ＝8，当焦点在y轴时，e＝eq \r(\f(4－λ,4))＝eq \f(\r(2),2)，
解得λ＝2，故“C的离心率e＝eq \f(\r(2),2)”是“λ＝8”的必要不充分条件．故选B.
6．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．eq \r(6)
[答案] A
[解析] 由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq \f(2\r(3),3).故选A．
7．(2025·河南平许济络质检)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－2，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,2)＋eq \f(2y2,3)＝1
[答案] B
[解析] 显然离心率e＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(1,2)，解得eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，即b2＝eq \f(3,4)a2，A1，A2分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，于是eq \(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，而eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－2，即－a2＋b2＝－2，又b2＝eq \f(3,4)a2，因此联立解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.故选B.
8．(2025·广西示范性高中质检)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(2),2)
[答案] C
[解析] 由题意得|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|QF2|＝eq \f(1,2)|PF2|＝eq \f(1,2)(2a－|PF1|)＝a－c.在△QF1F2中，由|F1Q|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，得b2＋(a－c)2＝4c2，则a2－c2＋a2－2ac＋c2＝4c2，得a2－ac－2c2＝(a－2c)(a＋c)＝0，解得a＝2c，所以M的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
9．(2024·河南焦作期中)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右焦点为F，点E(0,2)，点P是C上的动点，则|PF|＋|PE|的最小值为( )
A．5 B．10－2eq \r(5)
C．10 D．10＋2eq \r(5)
[答案] B
[解析] 若F′为椭圆左焦点且F′(－4,0)，则|PF′|＋|PF|＝2a＝10，故|PF|＝10－|PF′|，所以|PF|＋|PE|＝|PE|－|PF′|＋10，而||PE|－|PF′||≤|EF′|＝2eq \r(5)，所以－2eq \r(5)≤|PE|－|PF′|≤2eq \r(5)，仅当P，E，F′共线时取等号，综上，|PF|＋|PE|的最小值为10－2eq \r(5)，取值条件为P，E，F′共线且E在P，F′之间．故选B.
二、多选题
10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则( )
A．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)
B．△PF2F1的周长为4
C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3
D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°
[答案] AD
[解析] 由题意a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，故A正确；△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；若∠F2PF1＝60°，则|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即(2c)2＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|，故|PF1|·|PF2|＝4，故S△PF2F1＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 60°＝eq \r(3)，故C错误；由余弦定理|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F2PF1＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cs∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cs∠F2PF1)，解得cs∠F2PF1＝eq \f(1,2)，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选AD.
11．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则( )
A．当a＝eq \r(2)b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个
B．△PF1F2的周长一定小于4a
C．△PF1F2的面积可以大于eq \f(a2,2)
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5)))
[答案] ABD
[解析] 当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，此时，若a＝eq \r(2)b，则b＝c，所以∠F1PF2＝90°，A正确；△PF1F2周长为2a＋2c0，b>0，c>0)，则a2＝b2＋c2，且根据椭圆性质易知F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，所以|AB|＝eq \r(a2＋b2)，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，显然若△ABF为等腰三角形，则只能有|AB|＝|AF|，即a2＋b2＝(a＋c)2⇒a2－2ac－2c2＝0，则1－2eq \f(c,a)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2＝0⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \f(－1＋\r(3),2).
14．(2025·广东调研)已知点P在椭圆C：eq \f(x2,10)＋y2＝1上运动，D(0,6)，动点Q满足|DQ|＝eq \r(2)，则|PQ|的最大值为________.
[答案] 6eq \r(2)
[解析] 依题设P(x，y)，则eq \f(x2,10)＋y2＝1，－1≤y≤1，由|DQ|＝eq \r(2)，可得点Q的轨迹是以D为圆心，eq \r(2)为半径的圆．|DP|2＝x2＋(y－6)2＝10－10y2＋(y－6)2＝－9y2－12y＋46＝－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(2,3)))2＋50≤50，|DP|≤5eq \r(2)，当且仅当y＝－eq \f(2,3)取等号，即|DP|max＝5eq \r(2)，故|PQ|max＝|DP|max＋eq \r(2)＝5eq \r(2)＋eq \r(2)＝6eq \r(2).
15．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________.
[答案] eq \f(3\r(5),5)
[解析] 解法一：令x－2y＋m＝0与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1相切，联立整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0，
所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5，
当x－2y＋5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为eq \f(|8－5|,\r(1＋4))＝eq \f(3\r(5),5)，
当x－2y－5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为eq \f(|8＋5|,\r(1＋4))＝eq \f(13\r(5),5)，
所以曲线到直线距离的最小值为eq \f(3\r(5),5).
解法二：设x＝3cs θ，则y＝2sin θ，则曲线上的点到直线x－2y＋8＝0的距离d＝eq \f(|3cs θ－4sin θ＋8|,\r(5))＝eq \f(|5csθ＋φ＋8|,\r(5))≥eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(4,3)，且csθ＋φ＝－1时取等号))，即dmin＝eq \f(3\r(5),5).
B组能力提升
1．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)过椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的中心作直线l交椭圆于P、Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
[答案] B
[解析] 设C的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知|PF|＝|QF′|，所以△PFQ的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|QF|＋|PQ|＝8＋|PQ|，当线段PQ为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PFQ的周长的最小值为14.故选B.
2．(2024·江西五市九校联考)若点P既在直线l：x－y＋2＝0上，又在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为( )
A．eq \f(\r(10),2) B．eq \r(10)
C．eq \f(\r(10),2)或eq \f(\r(10),4) D．eq \r(10)或eq \f(\r(10),2)
[答案] B
[解析] 由|F1F2|＝2，得F1(－1,0)，F2(1,0)，因为∠F1PF2的平分线与l垂直，所以直线PF1，PF2关于l对称，点F1关于直线x－y＋2＝0的对称点为F′1(－2,1)，所以直线F′1F2的方程为y＝－eq \f(1,3)(x－1)，与x－y＋2＝0联立得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，\f(3,4)))，2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(\f(1,16)＋\f(9,16))＋eq \r(\f(81,16)＋\f(9,16))＝eq \r(10).故选B.
3．(2025·云南昆明摸底)设椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0，则E的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),9) B．eq \f(\r(5),7)
C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(\r(5),3)
[答案] D
[解析] 设E的左焦点为F′，由eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→))，可设|FC|＝3t，则|AF|＝2t，由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，结合椭圆的性质知|BC|＝|AC|＝|AF|＋|FC|＝5t，由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0，可得|BF|＝4t，又|BF′|＝2t，所以|BF|＋|BF′|＝6t＝2a，解得t＝eq \f(1,3)a，在Rt△BFF′中，由勾股定理得(2t)2＋(4t)2＝(2c)2，即4c2＝20t2＝eq \f(20,9)a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).故选D.
4．(2024·河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为eq \f(c,2)，则椭圆C的离心率的最大值是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
[答案] C
[解析] 由题意可得|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以S△MF1F2＝eq \f(1,2)(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·eq \f(c,2)＝eq \f(ca＋c,2)，又S△MF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|yM|＝c·|yM|，所以|yM|＝eq \f(a＋c,2)，又|yM|≤b，所以eq \f(a＋c,2)≤b＝eq \r(a2－c2)，化简，得eq \f(a＋c2,4)≤a2－c2，即eq \f(a＋c,4)≤a－c，解得eq \f(c,a)≤eq \f(3,5)，所以e的最大值为eq \f(3,5).故选C．
5．(2024·吉林四平期中)已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为________.
[答案] 25
[解析] 因为点P是椭圆C上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，又由均值不等式可得|PF1|(|PF2|＋2)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|＋2,2)))2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＋2，即|PF1|＝5，|PF2|＝3时等号成立．
C组拓展应用(选作)
(2025·湖北武汉部分学校调研)设椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2＝90°，∠PAF2＝45°，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(5,7) B．eq \f(\r(6),3)
C．2－eq \r(2) D．eq \r(3)－1
[答案] D
[解析] 由椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，可得F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，不妨设点P(x1，y1)在第一象限，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
因为∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|2)－2|PF1||PF2|＝4c2，
可得4a2－2|PF1||PF2|＝4c2，
所以|PF1||PF2|＝2(a2－c2)＝2b2，
所以△F1PF2的面积为S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝b2，
可得eq \f(1,2)×2c·y1＝b2，解得y1＝eq \f(b2,c)，
又因为a－x1＝y1，可得x1＝a－eq \f(b2,c)，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b2,c)，\f(b2,c)))，将点P代入椭圆的方程，
可得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b2,c)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,c)))2,b2)＝1，整理得a2＋b2－2ac＝0，
因为b2＝a2－c2，可得c2＋2ac－2a2＝0，
即e2＋2e－2＝0，解得e＝eq \r(3)－1和e＝－eq \r(3)－1(舍去)，
即椭圆C的离心率为eq \r(3)－1.故选D.