【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 52　椭圆（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 52　椭圆（含答案），共9页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知点M在椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·浙江绍兴二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,长轴长为4,则该椭圆的短轴长为( )
A.3B.23
C.43D.63
2.(2024·山东日照模拟)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足短半轴长为25的椭圆方程是( )
A.y220+x225=1
B.y225+x220=1
C.y245+x220=1
D.y285+x280=1
3.(2024·河南开封模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴长为23,点M在椭圆上,若|MF|的最大值是最小值的3倍,则椭圆的焦距为( )
A.3B.4
C.1D.2
4.(2024·江苏苏锡常镇二模)已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过E的右焦点F且斜率为1的直线l交E于A,B两点,且原点O到直线l的距离等于E的短轴长,则E的离心率为( )
A.223B.63
C.33D.13
5.(2024·山东泰安模拟)已知点M在椭圆C:x2+y29=1上,F1,F2是该椭圆的两个焦点,则|MF1|2+|MF2|2的最小值为( )
A.9B.12
C.16D.18
6.(2024·湖北襄阳模拟)已知椭圆x2a2+y22=1(a>2)的两焦点分别为F1,F2.若椭圆上有一点P,使∠F1PF2=120°,则△PF1F2的面积为( )
A.32B.433
C.3D.23
7.(2022·全国甲,文11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1B.x29+y28=1
C.x23+y22=1D.x22+y2=1
8.(多选题)(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C:x29+y24=1的焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则( )
A.C的焦距为25
B.C的离心率为53
C.△F1PF2的周长为3+5
D.△F1PF2面积的最大值为25
9.(多选题)(2024·浙江绍兴二模)已知复数z=x+yi(x,y∈R),其中i为虚数单位,若z满足|z+1|+|z-1|=4,则下列说法中正确的是( )
A.|z|的最大值为2
B.y的最大值为1
C.存在两个z,使得z+z=-4成立
D.存在两个z,使得z-(1+32i)=1成立
10.(2025·北京名校一轮复习)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB= .
11.(2024·浙江杭州模拟)经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点与上顶点的直线斜率为-53,则C的离心率为 .
12.(2021·全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
综合提升练
13.(2024·江西抚州模拟)已知F(2,0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点A(2,3)为C内一点,若在C上存在一点P,使得|PA|+|PF|=10,则a的取值范围是( )
A.(4,7]B.(5,7]
C.(5,152]D.(4,152]
14.(2025·上海交大附中段考)椭圆具有如下的声学性质:从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点.有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑,某人站在一个焦点处大喊一声,声音向各个方向传播后经墙壁反射(不考虑能量损失),该人先后三次听到了回音,其中第一、二次的回音较弱,第三次的回音较强;记第一、二次听到回音的时间间隔为x,第二、三次听到回音的时间间隔为y,则椭圆的离心率为( )
A.x2x+yB.xx+2y
C.y2x+yD.yx+2y
15.(2024·重庆模拟)如图,已知圆柱的斜截面是一个椭圆,该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线,短轴长等于圆柱的底面直径长.将圆柱侧面沿母线AB展开,则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y=3sin ωx(ω>0)图象的一部分,且其对应的椭圆曲线的离心率为32,则ω的值为( )

A.32B.1
C.3D.2
16.(2022·新高考Ⅰ,16)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
17.“工艺折纸”起源于中国,它不仅是一种把纸张折成各种不同形状的艺术活动,也是一种有益身心、开发智力的思维活动.折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象,这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合学问的运用.为了让学生感受数学之美,提升学生的综合素养,某学校开设了“折纸与数学”校本课,课上让每位学生准备一张半径为8的圆形纸片,按如下步骤进行折纸、观察和测绘.
步骤1:在圆内取一点F,使得F到圆心E的距离为6;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好经过点F(如图);
步骤3:把纸片展开,留下一道折痕;
步骤4:不停重复步骤2和步骤3,得到越来越多的折痕.
过点F作其中一道折痕的垂线,垂足为D,则|DE|2+|DF|2= ;经观察,学生发现圆面上的所有折痕围成了一条优美的曲线C,若以EF所在直线为x轴,EF的中点O为原点建立平面直角坐标系xOy,则C的方程为 .
创新应用练
18.(多选题)(2024·浙江A9协作体模拟)法国数学家蒙日发现:在椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆的中心,半径等于长、短半轴平方和的算术平方根,这个圆就称为椭圆C的蒙日圆,其方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆C的离心率为63,点A,B均在椭圆C上,直线l:bx+ay-4=0,则下列描述正确的为( )
A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b
B.若l上恰有一点P满足:过P作椭圆C的两条切线互相垂直,则椭圆C的方程为x23+y2=1
C.若l上任意一点Q都满足QA·QB>0,则b>1
D.若b=1,椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA⊥MB,则△AOB面积的最大值为32
答案：
1.B 解析 由ca=12可得a2=4c2=4(a2-b2),因为2a=4,即a=2,代入上式解得b=3,故短轴长为23.
2.B 解析 椭圆9x2+4y2=36化成标准方程为y29+x24=1,焦点在y轴上,设所求椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),依题意有b=25,a2-b2=9-4=5,解得a2=25,b2=20,所求椭圆方程为y225+x220=1.
3.D 解析 依题意,椭圆短轴长为23,得b=3,则a2-c2=b2=3,又|MF|的最大值是最小值的3倍,即a+c=3(a-c),所以a=2c,所以a=2,c=1,则焦距为2c=2.
4.A 解析 设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以F(c,0),所以直线l的方程为y=x-c.因为原点O到直线l的距离等于E的短轴长,即c2=2b,得c2=8b2,又a2=b2+c2,所以c2=8(a2-c2)⇒8a2=9c2,所以e=ca=223.
5.D 解析 由题知,a=3,b=1,则|MF1|+|MF2|=2a=6.因为|MF1|+|MF2|≥2|MF1|·|MF2|(当且仅当|MF1|=|MF2|时,等号成立),所以|MF1|·|MF2|≤9,所以|MF1|2+|MF2|2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1|·|MF2|≥62-2×9=18(当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立).
6.D 解析 如图,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,由点P在椭圆上可得,m+n=2a,①
在△PF1F2中,由余弦定理可得,m2+n2-2mncs 120°=4c2,化简得m2+n2+mn=4c2,②
由①式两边平方再减去②式,得mn=4a2-4c2=4b2=8,
于是△PF1F2的面积为12mnsin 120°=12×8×32=23.
7.B 解析 由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则BA1·BA2=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①
由e=13,得e2=19=a2-b2a2=1-b2a2,
即b2=89a2.②
联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.
8.ABD 解析 由题知a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=5,所以C的焦距为25,故A正确;
C的离心率为ca=53,故B正确;
△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+25,故C错误;
当点P位于椭圆的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,最大值为12×2×25=25,故D正确.故选ABD.
9.AD 解析 由|z+1|+|z-1|=4,可知z的轨迹方程为x24+y23=1.所以|z|的最大值为2,故A正确;由椭圆方程中y的取值范围可知,-3≤y≤3,则y的最大值为3,故B错误;由z+z=-4,得x=-2,由椭圆方程中x的取值范围可知,-2≤x≤2,故仅存在一个z满足x=-2,故C错误;因为z-(1+32i)=1表示复平面内z对应的点到点(1,32)的距离为1,而复平面内到点(1,32)距离为1的点的轨迹为圆,方程为(x-1)2+(y-32)2=1,因为圆与椭圆有2个交点,所以存在两个z,使得z-(1+32i)=1成立,故D正确.故选AD.
10.54 解析 由椭圆方程可知A(-4,0)和C(4,0)为其焦点,又△ABC的顶点B在椭圆x225+y29=1上,则|BA|+|BC|=2×5=10,|AC|=8,则对于△ABC,有a+c=10,b=8,在△ABC中,由正弦定理得sinA+sinCsinB=a+cb=108=54.
11.45 解析 因为经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点(a,0)与上顶点(0,b)的直线斜率为-53,所以-ba=-53,即ba=53,可知其焦点在y轴上,则C的离心率为e=cb=1-(ab) 2=1-(35) 2=45.
12.8 解析 由题意得a=4,b=2,c=23,
则|PQ|=|F1F2|=43.
∵|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,
∴QF1⊥QF2,即四边形PF1QF2为矩形.
∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,∴|QF1|·|QF2|=12[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8,即四边形PF1QF2的面积为8.
13.D 解析 依题意,a2-b2=4,设C的左焦点为F',则F'(-2,0).因为|PA|+|PF|=10,且|PF|+|PF'|=2a,则|PA|+2a-|PF'|=10,即|PA|-|PF'|=10-2a,于是|10-2a|≤|AF'|=5,解得52≤a≤152.因为点A(3,2)为椭圆C内一点,所以4a2+9b20,即a>2,解得a>4,所以a的取值范围是40)图象的一部分,可得AB=23.设圆柱底面半径为r,则T=2πω=2πr,所以ω=1r.设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,因为离心率为32,得e=ca=32,则a2=b2+c2=b2+(32a)2,即a2=4b2,所以ba=2rAC=12,得AC=4r,又由勾股定理得AC2-BC2=16r2-4r2=(23)2,解得r=1,故ω=1.
16.13 解析 如图,设椭圆的焦距为2c,F1,F2分别为左、右焦点.
∵椭圆的离心率e=12,∴a=2c,∴b=a2-c2=3c,∴bc=3,∴椭圆C的方程可化为x24c2+y23c2=1,直线AF2的斜率kAF2=-3.∵直线DE⊥AF2,∴kDE·kAF2=-1(kDE为直线DE的斜率),∴kDE=33.∴可设直线DE的方程为y=33(x+c).设点D(x1,y1),E(x2,y2),
联立y=33(x+c),x24c2+y23c2=1,消去y整理得13x2+8cx-32c2=0.则x1+x2=-8c13,x1x2=-32c213.则|DE|=1+332·(x1+x2)2-4x1x2=43×-8c132+4×32c213=48c13.
又|DE|=6,∴48c13=6.∴c=138.连接AF1,则|AF1|=a=2c=134,|F1F2|=2c=134,∴|AF1|=|F1F2|,∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
17.50 x216+y27=1 解析 如图1,以E为原点,EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则F(-6,0),点F关于折痕的对称点F'在圆上,设F'(8cs α,8sin α),连接DF',因为D为线段FF'的中点,所以D(4cs α-3,4sin α),则|DE|2+|DF|2=(4cs α-3)2+(4sin α)2+(4cs α+3)2+(4sin α)2=50.
图1
如图2,连接F'E交折痕于点P,连接PF,由折叠的性质可得|PF|+|PE|=|PF'|+|PE|=|EF'|=8>|EF|=6,根据椭圆的定义可知,动点P的轨迹为以E,F为焦点的椭圆,2a=8,2c=6,b2=a2-c2=16-9=7,所以C的方程为x216+y27=1.
图2
18.BD 解析 由离心率e=ca=63,且a2=b2+c2,得a2=3b2,C的蒙日圆方程为x2+y2=4b2.
由于原点O到蒙日圆上任意一点的距离都为2b,O到椭圆上任意一点的距离最大值为a=3b,所以C上任意一点A与C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2-3)b,选项A错误;若l上恰有一点P满足,过点P作椭圆C的两条切线互相垂直,则由蒙日圆的定义可知,直线l与蒙日圆x2+y2=4b2相切,所以圆心O到直线l的距离为d=4a2+b2=42b=2b,所以b=1,则椭圆C的方程为x23+y2=1,选项B正确;由蒙日圆的定义可知,点Q应在蒙日圆外,所以直线l与蒙日圆x2+y2=4b2相离,则圆心O到直线l的距离为d=4a2+b2=42b>2b,所以0