专题8.3 椭圆（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析5
【课程标准】5
【考情分析】5
【2026考向预测】5
三、知识点•逐点夯实5
知识点1、椭圆的定义5
知识点2、椭圆的方程、图形与性质6
知识点3、与椭圆有关的常用结论7
四、重点难点•分类突破8
考点1 椭圆的定义及其应用8
考点2 椭圆的标准方程8
考点3 椭圆的几何性质-求离心率9
考点4 椭圆的几何性质-求与椭圆性质有关的最值（范围）问题10
考点5 直线与椭圆的位置关系11
考点6 弦长问题12
考点7 中点弦问题13
考点8 定点与定值问题15
考点9 探索性问题17
五、必考题型•分层训练19
A、基础保分19
B、综合提升21
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一、5年高考•真题感悟
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
4．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
6．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．
（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．
（3）掌握椭圆的简单应用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．
三、知识点•逐点夯实
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
知识点三：与椭圆有关的常用结论
（1）、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）、椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
四、重点难点•分类突破
考点1 椭圆的定义及其应用
例1、（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 .
例2、（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【变式训练1】、（2025·云南昆明·模拟预测）已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】、（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为 .
考点2 椭圆的标准方程
例3、（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
例4、（2025·江西新余·模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为 ．
【变式训练3】、（2025·四川雅安·二模）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为 .
【变式训练4】、（2025·湖北十堰·三模）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点3 椭圆的几何性质-求离心率
例5、（25-26高三上·广东·开学考试）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6、（2025·江西九江·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ．
【变式训练5】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6】、（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ．
考点4 椭圆的几何性质-求与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例7、（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
例8、已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为
A．B．C．D．
【变式训练7】、已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一个动点，则的最大值是 .
【变式训8】、（2025·湖南岳阳·三模）已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为 ．
考点5 直线与椭圆的位置关系
例9、（2025·云南大理·模拟预测）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点.
（ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.
（ⅱ）求面积的最大值.
【变式训练9】、（2025·北京延庆·三模）已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值.
考点6 弦长问题
例10、（2025·湖南·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
例11、已知焦点在轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图所示），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
【变式训练10】、如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为 .
【变式训练11】、（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ．
考点7 中点弦问题
例12、（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例13、（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；
(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练12】、已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是 .
【变式训练13】、（2025·甘肃·模拟预测）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过点的直线（斜率存在）与交于两点，线段的中点为（不与重合），直线与的斜率之积为．
(1)证明：；
(2)设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的一般式方程.
考点8 定点与定值问题
例14、（2025·河北保定·三模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点．
例15、（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．
【变式训练14】、（2025·安徽蚌埠·三模）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点．
(1)若是定值，求该定值；
(2)求面积最大值．
【变式训练15】、（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2.
(1)求的方程；
(2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求四边形面积的取值范围.
考点9 探索性问题
例16、（2025·全国·模拟预测）已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)判断上是否存在点，使得为等腰直角三角形，如果存在，求出点坐标.反之说明理由.
例17、（2025·上海金山·三模）已知双曲线的右焦点为．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积；
(3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由．
【变式训练16】、（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为.
(1)求的方程；
(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；
(3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由.
【变式训练17】、（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N.
①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）；
②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
五、分层训练
一、单选题
1．（2025·江苏·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024·浙江温州·一模）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 .
6．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 .
三、解答题
7．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)设点为圆上异于和的任意一点，若直线与直线分别交于点，求证：两点的纵坐标之积为定值.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
8．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证为定值.
9．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足．
(1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合)
(2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由．
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，15分
求椭圆方程与椭圆中的最值问题
一般
2025年新Ⅱ卷，15分
求椭圆的方程与三角形的面积
一般
2025年天津卷，15分
直线与椭圆的位置关系
较难
2025年北京卷，15分
求椭圆的方程与三角形的面积
一般
2025年上海卷，15分
椭圆中最值与范围问题
较难
2024年新Ⅱ卷，5分
轨迹方程的求法
较难
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
焦点
、
、
焦距
离心率
点和椭圆
的关系
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）