2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2．2　函数的单调性与最值(2大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2．2　函数的单调性与最值(2大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共11页。
\l "_Tc199964448" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199964448 \h 3
\l "_Tc199964449" 一、函数的单调性 PAGEREF _Tc199964449 \h 3
\l "_Tc199964450" 二、函数的最值 PAGEREF _Tc199964450 \h 3
\l "_Tc199964451" 常用二级结论 PAGEREF _Tc199964451 \h 4
\l "_Tc199964452" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199964452 \h 5
\l "_Tc199964453" 题型一：函数单调性的判断 PAGEREF _Tc199964453 \h 5
\l "_Tc199964454" 题型二：利用定义证明函数的单调性 PAGEREF _Tc199964454 \h 5
\l "_Tc199964455" 题型三：利用单调性比较函数值的大小 PAGEREF _Tc199964455 \h 7
\l "_Tc199964456" 题型四：求函数的最值 PAGEREF _Tc199964456 \h 8
\l "_Tc199964457" 题型五：解函数不等式 PAGEREF _Tc199964457 \h 9
\l "_Tc199964458" 题型六：求参数的值(范围) PAGEREF _Tc199964458 \h 9
\l "_Tc199964459" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199964459 \h 11
\l "_Tc199964460" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199964460 \h 13
\l "_Tc199964461" ①数形结合 PAGEREF _Tc199964461 \h 13
\l "_Tc199964462" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199964462 \h 13
\l "_Tc199964463" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199964463 \h 14
\l "_Tc199964464" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199964464 \h 15
\l "_Tc199964465" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199964465 \h 15
\l "_Tc199964466" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199964466 \h 17
1、借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．
2、掌握函数单调性的简单应用．
一、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
二、函数的最值
1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作；
2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作．
常用二级结论
1、单调性定义的变式：设，且，
①在是增函数恒成立
②在是减函数恒成立
2、判断函数单调性
设，具有单调性，常数，常数，则
①，，与有相同的单调性
②，与有相反的单调性
③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
题型一：函数单调性的判断
【例1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式1-1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【变式1-2】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型二：利用定义证明函数的单调性
【例2】已知函数
(1)若，求的值；
(2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明.
【解题总结】
证明函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.
【变式2-1】已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，.
(1)求的值，并证明：是奇函数；
(2)判断在上的单调性并证明；
(3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【变式2-2】讨论函数在区间上的单调性.
【变式2-3】判断并证明函数（其中）在上的单调性.
题型三：利用单调性比较函数值的大小
【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
【变式3-1】已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】设，则下列函数值最小的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：求函数的最值
【例4】函数的最小值为 ．
【解题总结】
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
【变式4-1】函数的最大值为1，最小值为，则 .
【变式4-2】已知函数，点是图象上的两点．
(1)求的值：
(2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
(3)若函数，求函数的值域．
【变式4-3】已知函数在时有最大值.
(1)求实数的值；
(2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值.
题型五：解函数不等式
【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
【变式5-1】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【变式5-2】已知函数，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：求参数的值(范围)
【例6】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【变式6-1】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．已知、、、、、为6 个不同的实数，满足①，，，②，③，以下选项值恒成立的是
A．B．C．D．
2．若，，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
①数形结合
1．设函数则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
2．已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于x的不等式的解集为
A．B．C．D．
3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
5．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
③分类讨论
7．已知函数的最小值为，则 ．
8．已知函数若，，且，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
9．定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则b的取值范围是 ．
基础过关篇
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
12．已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
13．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．（多选题）（2025·广东·二模）设函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．
C．函数的值域为
D．函数在其定义域上为增函数
15．（多选题）已知函数若的最小值为，则（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增
C．D．函数的最小值为
16．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，
B．，，且，有
C．，，且，有
D．，
17．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
18．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
19．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
20．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接）
能力拓展篇
21．（2025·安徽合肥·三模）已知，若，则的范围为 .
22．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对的某个内角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
23．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
24．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ．
25．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 .
26．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是 ．
2．2 函数的单调性与最值
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc199964447" 01 课标要求 PAGEREF _Tc199964447 \h 2
\l "_Tc199964448" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199964448 \h 3
\l "_Tc199964449" 一、函数的单调性 PAGEREF _Tc199964449 \h 3
\l "_Tc199964450" 二、函数的最值 PAGEREF _Tc199964450 \h 3
\l "_Tc199964451" 常用二级结论 PAGEREF _Tc199964451 \h 4
\l "_Tc199964452" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199964452 \h 5
\l "_Tc199964453" 题型一：函数单调性的判断 PAGEREF _Tc199964453 \h 5
\l "_Tc199964454" 题型二：利用定义证明函数的单调性 PAGEREF _Tc199964454 \h 7
\l "_Tc199964455" 题型三：利用单调性比较函数值的大小 PAGEREF _Tc199964455 \h 10
\l "_Tc199964456" 题型四：求函数的最值 PAGEREF _Tc199964456 \h 12
\l "_Tc199964457" 题型五：解函数不等式 PAGEREF _Tc199964457 \h 15
\l "_Tc199964458" 题型六：求参数的值(范围) PAGEREF _Tc199964458 \h 18
\l "_Tc199964459" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199964459 \h 20
\l "_Tc199964460" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199964460 \h 23
\l "_Tc199964461" ①数形结合 PAGEREF _Tc199964461 \h 23
\l "_Tc199964462" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199964462 \h 25
\l "_Tc199964463" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199964463 \h 27
\l "_Tc199964464" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199964464 \h 31
\l "_Tc199964465" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199964465 \h 31
\l "_Tc199964466" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199964466 \h 40
1、借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．
2、掌握函数单调性的简单应用．
一、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
二、函数的最值
1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作；
2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作．
常用二级结论
1、单调性定义的变式：设，且，
①在是增函数恒成立
②在是减函数恒成立
2、判断函数单调性
设，具有单调性，常数，常数，则
①，，与有相同的单调性
②，与有相反的单调性
③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
题型一：函数单调性的判断
【例1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故A错误；
B，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故B错误；
C，定义域为，，则为奇函数，
因，，则不是增函数，故C错误；
D，因，则，故定义域为，
，则为奇函数，
且，
则
因，则，
又，，
则
，
则，即，
则，即，
则是上的增函数，故D正确.
故选：D
【解题总结】
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式1-1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，当时，，即，
设，即，即有，
则在上递增，故C正确．
故选：B．
【变式1-2】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误；
对于B，函数在上单调递减，故B错误；
对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递增，故C正确；
对于D，函数在上单调递减，故D错误．
故选：C．
【变式1-3】（2025·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，
由增函数的定义可知，当时，有，
充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，
若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.
即对实数，“”是“”的充要条件.
故选：C
题型二：利用定义证明函数的单调性
【例2】已知函数
(1)若，求的值；
(2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明.
【解析】（1）由题设，则，故；
（2）在区间上递增，证明如下：
令，则，
又，则，且，
所以，即在区间上递增.
【解题总结】
证明函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.
【变式2-1】已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，.
(1)求的值，并证明：是奇函数；
(2)判断在上的单调性并证明；
(3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数满足任意的实数，，都有，
令，则，所以.
令，则，
所以，所以是奇函数.
（2）在上单调递增.
证明：设，且，所以，
又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增.
（3）关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立，
由（2）可知在上单调递增，
令，，所以，，
令，，
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
当，即时，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【变式2-2】讨论函数在区间上的单调性.
【解析】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
以下根据函数单调性的定义证明：
①设，
则
，
，即，
在内是减函数.
②设
由①知
，
即，
在内是增函数.
【变式2-3】判断并证明函数（其中）在上的单调性.
【解析】证明：法一（定义法）：设，
则.
，，，.
因此当时，，即，
此时函数在上为减函数.
法二（导数法）：对求导得.
又，，所以，所以函数在上为减函数.
题型三：利用单调性比较函数值的大小
【例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，对求导，得.
已知，所以，这表明在上单调递增.
设，对求导，得.
已知，所以，这表明在上单调递减.
因为在上单调递增，且，所以.
，则，即，无法确定，所以选项A错误.
因为在上单调递增，且，所以.
，则，即，无法确定，所以选项B错误.
因为在上单调递增，且，所以.
，则，即.
又因为在上单调递减，且，所以.
，则，即.
同时，移项可得，所以选项C正确.
因为在上单调递增，且，所以.
，则，即.
又因为在上单调递减，且，所以.
，则，即，无法确定，所以选项D错误.
故选：C.
【解题总结】
比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
【变式3-1】已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，则，
且，可得，即，
可知是上的减函数，且，所以．
故选：B.
【变式3-2】设，则下列函数值最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
所以的图像关于直线对称，
当时，
，
，
所以，
于是，
所以，
因此，当时，单调递增，故为最小值.
故选：C．
【变式3-3】（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的函数满足条件，
所以函数是偶函数，
对任意，当时都有，
所以不妨设，则有，
因此时，函数是增函数，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为时，函数是增函数，
所以，即，
故选：A
题型四：求函数的最值
【例4】函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，可得，所以函数的定义域为，
与在上均为增函数，
在上为单调递增函数，
∴当时，．
故答案为：.
【解题总结】
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
【变式4-1】函数的最大值为1，最小值为，则 .
【答案】/
【解析】，
令，，对称轴方程为，
①当时，，，
解得，，
②当时，，，
解得，，
③当时，，，
即或，无满足条件的解，
综上，.
故答案为：.
【变式4-2】已知函数，点是图象上的两点．
(1)求的值：
(2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
(3)若函数，求函数的值域．
【解析】（1）由题意，得，解得.
（2）由（1）知，，
任取，且，
则，
因为，所以，，
则，即，
所以函数在上单调递减，
则，.
（3）由（1）知，，
则，，
令，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且时，，
所以函数的值域为．
【变式4-3】已知函数在时有最大值.
(1)求实数的值；
(2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值.
【解析】（1）因为在时有最大值，
则，解得，所以；
（2）由（1）可得，
则，又，所以，则，
所以当时单调递减，
所以，且，
所以，是关于的方程的两个解，
即，
解方程得，，，
又，所以，.
题型五：解函数不等式
【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，其定义域为.
,对进行变形，
所以，则是奇函数.
对于，因为在上单调递增，，对求导得，所以在上单调递增，
根据复合函数同增异减的性质可知在上单调递增.
对于，其导数，所以在上单调递增.
两个增函数相加还是增函数，所以在上单调递增.
已知，则，.
不等式可化为，即.
因为是奇函数，所以可化为.
因为在上单调递增，所以等价于.
移项可得，即，解得.
不等式的解集为，
故选：C.
【解题总结】
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
【变式5-1】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.
因此，不等式可以转化为.
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得或.
故选：C.
【变式5-2】已知函数，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】显然的定义域为，
因为，所以为偶函数．
又，
令，令，，则，且在上单调递增，
当时，，又在单调递增，所以在单调递增；
当时，，又在单调递减，所以在上单调递减，
（也可利用定义求证单调性）
又在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，为偶函数，
所以等价于，
所以，故，则，即或，
得或.
综上，m的取值范围为.
故选：C．
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则，
则；；
当即时，，，成立；
当时，，，；
当时，，，；
当即时，，
所以的取值范围是．
故选：D．
题型六：求参数的值(范围)
【例6】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，其在上单调递增，
若在单调递增，，所以.
故选：D．
【解题总结】
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【变式6-1】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，因为为上的增函数，
而在内单调递增，
故为内的增函数，且在内恒成立，
故，故，
故选：D.
【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意；
当时，由换底公式可得，
因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以.
又，所以，，所以，所以，即，解得.
综上，a的取值范围为.
故选：A.
【变式6-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以当时，恒成立，则；
当时，由在上递减，
若，，合题意，
若，则，故;
又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.
综上所述，，
故选：C．
1．已知、、、、、为6 个不同的实数，满足①，，，②，③，以下选项值恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
方法1：构造函数，
由题设，并令，
则，同理，，
条件③转化为，
考虑到函数为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，
由条件①可得，，且函数在上严格增，
因此，即恒成立，
故选：
方法2：特殊值排除法，
由题意，设，
并令，，，满足条件，
显然选项 B，C，D 均错误，
故选：
2．若，，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
方法一：由，，消去c得到，
要使ab有最大值，而，则只需考虑且的情况，
当且时，则，即，
，当且仅当时等号成立，故ab的最大值为
方法二：由，，可消去c得到，
则，令，
，当时，，故ab的最大值为
故选：
①数形结合
1．设函数则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
作出函数的图像如图所示，
要使，
则或
即或
因此
故选：
2．已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于x的不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得的图象关于直线对称，
又，得，解得，
由在上单调递减，可知在上单调递增，
画出的大致图象如下所示，
结合图象及
解得或，
不等式的解集为
故选：
3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
令，，，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
有极大值
在时取最小值
根据分段函数的定义，当时，与一致，当时，与一致．
在同一坐标系下作出与的图象．
要使分段函数的表达式有意义，则有
因为为R上的减函数，所以在上单调递减，在上单调递减，
且，
观察可得，a的取值范围为
②转化与化归
4．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为在上单调递增，且函数在区间上单调递减，
所以在上单调递减，且恒成立．
所以，解得
故选
5．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数，在R上为减函数；
又因为所以为奇函数，
若，不等式恒成立，
则不等式，因为为奇函数，所以，
因为为减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以，所以实数m的取值范围是
故选：
6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
根据题意，函数，所以，
令，则，所以为奇函数，
所以的图象关于点中心对称，
所以，由可得，所以，
再次研究，
，
易得，当且仅当，即时，取等号，
当时，，则，
当时，则，而根据余弦函数的性质易得，
则，
综上，
所以函数单调递减，
由可得，，即，即，解得，
故选：
③分类讨论
7．已知函数的最小值为，则 ．
【答案】
【解析】若，
当时，则，在上单调递增，
所以，
当时，，对称轴为，
则 ，
由，即，解得或，
又，所以，
此时，符合题意；
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
当时，则在上单调递减，
故，
若，解得，
此时，符合题意；
若，解得，
此时，不符合题意，
综上所述，
故答案为：
8．已知函数若，，且，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
当时，可得，易知函数在R上单调递减，不满足题意；
当时，当时，，对称轴为，
当时，，此时函数在上单调递减；
当时，，
当时，开口向上，大致图象如图所示：
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，且，使得成立，满足题意；
当时：
当时，函数的开口下，对称轴，
①当，即时，
易知函数在和上单调递减，在上单调递增，
大致图象如图所示：
由此可知，，且，使得成立，满足题意；
②当时，即时，
此时函数的大致图象如图所示：
易知函数在R上单调递减，
所以不存在，且，使得成立；
综上，a的取值范围为：，
故答案为：
9．定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则b的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
记在上的最大值为，最小值为，
，
，
8．
①当时，，，
，解得：
②当时，，，
，解得：
③当时，，，
，
，均不合题意．
或
基础过关篇
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
且函数在上单调，
根据复合函数的单调性，可得，即，
所以的取值范围是.
故选：A.
2．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为是减函数，且，所以，故A错误；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，因为是增函数，且，所以，故C正确；
对于D，因为是增函数，且，所以，故D错误.
故选：C.
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】求导得，
要满足函数在区间上单调递增，
则，即，
因为，所以，即，
故选：B.
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示．
对于选项A：在区间不单调，故A错误；
对于选项B：没有零点，故B错误；
对于选项C：是奇函数，有3个零点，在上单调递增，故C正确；
对于选项D：有2个零点，故D错误.
故选：C
5．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.
当时，，所以，在上单调递增；
当时，，在上不单调；
当时，，所以，在上单调递减.
综上，.
故选：C.
6．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
7．函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得及，解得，
所以，故在上单调递增，
所以，，综上可得，
故选：B.
8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，的定义域为，，
因为，
所以为偶函数，
当时，令，则，
因为和在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增．
由，得，所以，
两边平方并整理，得，解得．
故选：B．
9．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
10．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
11．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
12．已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
13．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
14．（多选题）（2025·广东·二模）设函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．
C．函数的值域为
D．函数在其定义域上为增函数
【答案】ABC
【解析】，
令，此函数定义域为，
，故此函数为奇函数，A正确；
；
，B正确；
，令，则，
因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知
所以，即，
所以函数的值域为，C正确；
，令，
，
由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且
由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小，
故当当时即时为减函数，故D错误.
故选：ABC
15．（多选题）已知函数若的最小值为，则（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增
C．D．函数的最小值为
【答案】ACD
【解析】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确．
16．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，
B．，，且，有
C．，，且，有
D．，
【答案】AB
【解析】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且，
所以当时，恒成立，当时，恒成立，
所以，恒成立，故A正确；
对于B，，，且，都有，
所以，故B正确；
对于C，设，则，都有，故C错误；
对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但
所以，，故D错误.
故选：AB
17．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
【答案】AC
【解析】令，得，解得或.
若，令，得，则，
此时，而，
显然不恒成立.
若，同理得，代入恒等式中验证有恒成立，
故，A正确，B错误.
易知是偶函数，且在上单调递增.
因为，且等号不能同时成立，所以，
则，则，C正确.
，易得的值域为，D错误.
故选：AC
18．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】(答案不唯一)
【解析】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，所以，即可以是，
故答案为：(答案不唯一).
19．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】设则，
故在R上单调递减，
且，即，
即，
故.
故不等式的解集为.
故答案为：
20．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接）
【答案】
【解析】易知为偶函数，周期为4，
当，，此时在上单调递减，且，
当，，此时在上单调递减，且，
，，，所以；
又，所以，
又，所以，故.
故答案为：
能力拓展篇
21．（2025·安徽合肥·三模）已知，若，则的范围为 .
【答案】
【解析】由题可得：
则
注意到
，
则
注意到，
则，
.
注意到，则.
则或，
则或，
则，当时，；
当时，；时，.
综上可得：的范围是.
故答案为：
22．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对的某个内角，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，是奇函数，且在上严格单调递增，所以在上单调递增，
由，得，
，
设，由于，所以，
所以，即，
则的取值范围是，
的取值范围是，
由不等关系：恒成立，的取值范围是.
故答案为：.
23．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由是定义在上的奇函数，得，
是上的偶函数，由，得，
则，由在上递增，得在上递减，
当时，，不等式成立，因此；
当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
24．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为对都有，所以是上的奇函数，
又时，，显然在上单调递增，
故函数在上单调递增，
当时，，则，即；
由，可得，
故得，
则有或，
即或，解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
25．（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
当时，，得，在上单调递减，
当时，，得，在上单调递增，
又
，故为上的偶函数，
故等价于，
即，两边平方解得或.
所以不等式解集为，
故答案为：
26．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知得，若，则，满足是增函数；
若，由得，或，也满足在上单调递增；
若，由得，或，若在上单调递增，需满足，即，解得，在上单调递增时，实数的取值范围是或，
在区间上不是单调递增时，实数的取值范围是．
故答案为：．