北京市第五十七中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 已知集合，则（）
2. 若复数满足，则的共轭复数（ ）
3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（ ）
4. 在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为
5. 设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（ ）
6. 如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（ ）

7. 若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
8. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
9. 已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
10. 棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（ ）
二、填空题
11. 在等差数列中，，则__________.
12. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为__________；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点，且，则__________.
13. 已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________.
14. ，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是__________.
15. 已知曲线（、为常数），给出下列四个结论：
①曲线关于坐标原点对称；
②当时，曲线恒过两个定点；
③设、为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；
④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号为__________.
三、解答题
16. 已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)设是由向右平移个单位得到的新函数，其中，且为偶函数，求在区间上的最大值和最小值.
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点.
(1)求证AE平面PCD；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
18. 已知椭圆的一个顶点为.且过点.
(1)求椭圆的方程及焦距
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积.
19. 在中，.
(1)求；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求及的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点.
21. 给定正整数，已知是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质：
①对任意，有；
②对任意，且，有；
③对任意，有．
(1)判断数表是否具有性质，并说明理由；
(2)若数表具有性质，求的最小值；
(3)若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．3
B．
C．
D．4
A．
B．
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．1
C．
D．2
A．平面；
B．线段与线段的长度之和为定值；
C．线段长度的最小值为；
D．面积的最大值为；