北京市第九中学教育集团2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 已知直线的一个方向向量是，则直线的斜率是（ ）
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
3. 已知向量，，则下列结论错误的是（ ）
4. “曲线表示椭圆”是“”的（ ）
5. 已知双曲线的一个焦点为，则的离心率为
6. 将名学生分到两个班级，每班至少人，不同的方法有（ ）种
7. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于、两点，若，，则（ ）

8. 如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（ ）

9. 如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（ ）

10. 如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则（ ）

二、填空题
11. 已知直线：与直线：平行，则______.
12. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是________．
13. 若，则__________；__________.（用数字作答）
14. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________.
15. 已知曲线（是常数），为曲线上不同的两点，给出下列四个结论：
①若，则曲线关于直线对称；
②若，则曲线恒过两个定点；
③若，则可能位于直线的两侧；
④若，圆，则所有均在圆上或圆内；
其中所有正确结论的序号为__________.
三、解答题
16. 已知，是圆上的三点，.
(1)判断四点是否共圆，并说明理由；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程.
17. 如图，在几何体中，底面为矩形，平面平面，.点在棱上，平面与棱交于点.

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若平面平面，求二面角的大小.
18. 已知椭圆.
(1)求椭圆的短轴长和离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长.
19. 如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.直线与直线相交于点，求证：三点共线.
21. 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：.通过“变换”可以将有序数对转化为有序数对.
(1)写出有序数对经过3次“变换”后得到的有序数对；
(2)若有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为4050，求的值；
(3)在（2）的条件下，有序数对经过次“变换”后得到有序数对三项之和最小，求的最小值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．，，能构成空间向量的一组基底
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．当时，点的轨迹是椭圆
B．当时，点的轨迹是抛物线
C．当时，点的轨迹是圆
D．当时，点的轨迹是双曲线