北京市第十九中学2025-2026学年高二上学期期末练习数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 抛物线y2=4x的焦点坐标是
2. 已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
4. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（ ）
5. 已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（ ）
6. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ）
7. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ）
8. 已知，，若，以下向量中可以作为的是（ ）
9. 已知点，点，半径为的圆恒经过点，若存在圆心使得，则的取值范围是（ ）
10. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
二、填空题
11. 学校食堂在某天中午备有5种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则最多可以配制出_____种不同的套餐.
12. 已知点，向量，平面经过原点，且与向量垂直，则点A到平面的距离为_______.
13. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
14. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，于是得到一种八个面为正三角形、六个面为正方形的半正多面体，如图所示，已知，则此半正多面体的体积为_______.
15. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论：
①开口向上的抛物线的方程为；
②；
③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为；
④阴影区域的面积大于，
上述结论中所有正确的序号是_______．
三、解答题
16. 已知点在圆上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18. 四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，E为棱的中点，过点B，C，E的平面交棱于点F.
(1)求证：F为中点；
(2)若，，再从条件①或条件②中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.
条件①：
条件②：与平面所成角的正切值为2.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．（0,2）
B．（0,1）
C．（2,0）
D．（1,0）
A．
B．
C．
D．l与相交，但不垂直
A．
B．
C．
D．
A．12
B．24
C．72
D．48
A．9
B．4
C．3
D．
A．，且直线，是相交直线
B．，且直线，是相交直线
C．，且直线，是异面直线
D．，且直线，是异面直线
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，