北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期期末数学试题（含答案解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在
2. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形的解的情况是（ ）
3. 函数①，②，③中，最小正周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
4. 在等腰梯形中，，，.将等腰梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
5. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
6. 在正四面体中，棱与底面所成角的正弦值为（ ）
7. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）

8. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
9. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ）
10. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为（ ）
11. 如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.下列结论错误的是（ ）
12. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
二、填空题
13. 已知复数是纯虚数，则___________，复数的虚部为___________.
14. 如图，若平行六面体的所有棱长均为2，且，则________，异面直线与所成角的大小为________.
15. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______．
16. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
17. 如图，在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知抹去之后的体积是长方体体积的，则的长度为___________，长方体的体对角线长度为___________.
18. 在中，内角的对边分别为，边上的高为，则的最大值为_________ .
19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面.
20. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在棱，上，且，点为的中点，给出下面四个结论：
①；
②存在，使得是钝角；
③当时，的面积取得最小值；
④当时，平面截该正方体的表面所得的截面为六边形.
其中正确结论的序号为____________.
三、解答题
21. 已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值：
(3)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
22. 在中，．
(1)求；
(2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
23. 如图长方体中，，，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
24. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点.
(1)求证：平面；
(2)已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值；
(3)在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由.
25. 如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
26. 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
第26题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
A．①②
B．②
C．③
D．②③
A．
B．
C．
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．1
B．－1
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．64
B．60
C．56
D．52
A．；
B．平面；
C．直线与直线所成角的范围是；
D．点到平面的距离是.
A．线段的三等分点，且靠近点
B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点
D．线段的四等分点，且靠近点