北京市平谷区2025-2026学年高二上学期教学质量监控样卷数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 直线经过点和，则直线的斜率（ ）
2. 抛物线的焦点坐标
3. 已知数列满足，，那么其前4项和等于（ ）
4. 若直线与圆相切，则的值等于（ ）
5. “”是“直线和平行”的（ ）
6. 双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率（ ）
7. 已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（ ）
8. 在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chú）甍(méng)”.若底面是边长为4的正方形，，和是等腰三角形，，且平面和平面与平面所成角均为，则多面体所有棱长之和为（ ）

9. 已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（ ）
10. 某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（ ）
二、填空题
11. 过点且与直线垂直的直线的方程是____________.
12. 已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________.
13. 在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为____________.
14. 在中，，，，则此三角形的最短边的长度是___________.
15. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论：
①；
②为等比数列；
③数列中存在大于2的项；
④数列中无最小项.
其中所有正确结论的序号为____________.
三、解答题
16. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与直线交于两点，，求的面积.
17. 已知数列的前项和，等差数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列前项和为，求的最大值.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，是的中点，在上，且平面.

(1)求证：平面；
(2)求证：为的中点；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
19. 为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图书馆对学生的借阅类别进行调查，从而优先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如下表：
假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率
(1)假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数；
(2)分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率；
(3)记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为；样本中高三学生不选择三类书籍的频率依次为，，，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）
20. 已知椭圆的短半轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设斜率为的直线过左焦点，且与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在，使得为等腰直角三角形，若有，求直线方程；若没有，说明理由.
21. 定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”.
(1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式.
(2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列；
(3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．7
B．10
C．14
D．15
A．1或
B．10或
C．或
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．和既有最大值，又有最小值
B．有最小值，无最大值
C．无最大值，无最小值
D．无最小值，有最小值
A．没有对称性
B．徽章轮廓是一个圆
C．最远的两点距离为厘米
D．平面面积是平方厘米
高一
高二
高三
选择
不选择
选择
不选择
选择
不选择
参考、工具类
20
40
25
25
30
10
文学类
30
30
30
20
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自然、科学类
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40
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