2022-2023学年北京五十七中高二（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年北京五十七中高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−1A. [0,1)B. [0,1]C. (−1,3]D. (−1,3)
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,−1)，则i⋅z=( )
A. 1+iB. −1−iC. 1−iD. −1+i
3. 在等差数列{an}中，a2=1，a5=5，则a8=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
4. 已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率是2，则b=( )
A. 12B. 2 3C. 3D. 32
5. 若点M(1,1)为圆C：x2+y2−4x=0的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A. x−y−2=0B. x+y−2=0C. x−y=0D. x+y=0
6. 已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为23π，则|a+b|=( )
A. 3B. 5C. 7D. 3
7. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn.则“S1+S3>2S2”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 函数f(x)=x，g(x)=x2−x+2.若存在x1,x2…,xn∈[0,92]，使得f(x1)+f(x2)+…+f(xn−1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+…+g(xn−1)+f(xn)，则n的最大值是( )
A. 8B. 11C. 14D. 18
10. n名学生参加某次测试，测试由m道题组成.若一道题至少有23n名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了23m道题，则该生本次测试成绩合格.如果这次测试至少有23n名学生成绩合格，且测试中至少有23m道题为难题，那么mn的最小值为( )
A. 6B. 9C. 18D. 27
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)在区间[0,m]上的最小值为g(0)，则m的最大值为______ ．
12. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是______．
13. 已知函数f(x)=2x+1x2,x<−12x+1,x≥−12，g(x)=x2−4x−4，若存在实数a使得f(a)+g(b)=0，则实数b的取值范围是______ ．
14. 声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．
(1)若甲声波的数学模型为f1(t)=sin200πt，乙声波的数学模型为f2(t)=sin(200πt+φ)(φ>0)，甲、乙声波合成后的数学模型为f(t)=f1(t)+f2(t).要使f(t)=0恒成立，则φ的最小值为；
(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为H(t)，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f(t)和g(t)，满足H(t)=f(t)+g(t).已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
①y=sinπ2t；②y=sin2πt；③y=sin3πt；④y=2sin3πt．
则S1，S2两种声波的数学模型分别是______ .(填写序号)
15. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠DAB=π3，PD=AD，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥OE；
②FC=PO；
③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为 55；
④△AEC面积的取值范围是[ 62, 15]．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题13.0分)
在△ABC中，csC=17，c=8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(Ⅰ)b的值；
(Ⅱ)角A的大小和△ABC的面积．
条件①：a=7；
条件②：csB=1114．
17. (本小题13.0分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= 5，AC=AA1=2．
(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；
(Ⅱ)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求点D到平面ABE的距离．
18. (本小题14.0分)
已知椭圆C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)，上下两个顶点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是边长为2 2的正方形，过P(0,n)(n>2)作直线l交椭圆于DE，两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：四边形DB1B2E对角线交点的纵坐标与D，E两点的位置无关．
19. (本小题15.0分)
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx．
(Ⅰ)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)试判断1是不是函数f(x)的极值点，并说明理由；
(Ⅲ)是否存在实数a，使得直线y=x−2与曲线y=f(x)相切？若存在，直接写出满足条件的实数a的个数；若不存在，请说明理由．
20. (本小题15.0分)
已知数列A：a1，a2，…，an(0≤a1(Ⅰ)分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P；
(Ⅱ)证明：a1=0，且Sn=nan2；
(Ⅲ)证明：当n=4时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
21. (本小题15.0分)
已知集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*)，若集合A={a1,a2,a3,…,am}(m∈N*)，且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A(1≤i≤j≤m)，使得b=λ1ai+λ2aj(其中λ1，λ2∈{−1,0,1})，则称集合A为集合M的一个m元基底．
(Ⅰ)分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；
①A={1,5}M={1,2,3,4,5}；
②A={2,3}，M={1,2,3,4,5,6}．
(Ⅱ)若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m(m+1)≥n；
(Ⅲ)若集合A为集合M={1,2,3,…,19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|−1则A∪B={x|−1故选：C．
直接求并集得到答案．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：复数z对应的点的坐标为(1,−1)，
则z=1−i，
故i⋅z=i(1−i)=1+i．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：在等差数列{an}中，a2=1，a5=5，
则a8=2a5−a2=10−1=9．
故选：A．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意可得e=ca= 4+b22=2，(b>0)，
∴b=2 3，
故选：B．
根据双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵圆x2+y2−4x=0的圆心为C(2,0)
根据题意：kCM=1−01−2=−1
又kABkCM=−1，
∴kAB=1，
∴直线AB的方程是x−y=0
故选：C．
由的一般方程可得，圆心为C(2,0)，由点M为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为2π3，
∴平面向量的数量积运算可知，a⋅b=2×1×cs2π3=−1，
∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=22−2×1+12=3，
∴|a+b|= 3．
故选：A．
根据向量数量积的定义及运算性质即得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．
【解答】
解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x=−y，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．
当x=π2时，函数的值为0，故排除C．
故选D．

8.【答案】C
【解析】解：由{an}是等差数列，S1+S3>2S2，化简得a3>a2，即d>0，则{an}为递增数列，
则“S1+S3>2S2”是“{an}为递增数列”的充分必要条件，
故选：C．
先化简，再判断单调性．
本题考查数列，以及充要性，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=x，g(x)=x2−x+2，
因为f(x1)+f(x2)+…+f(xn−1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+…+g(xn−1)+f(xn)，
所以 x1+x2+…+xn−1+xn2−xn+2=x12−x1+2+x22−x2+2+…+xn−12−xn−1+2+xn，
化为xn2−2xn+2=x12−2x1+2+x22−2x2+2+…+xn−12−2xn−1+2，
设h(x)=x2−2x+2，
故存在x1,x2,…,xn∈[0,92]，
使得h(xn)=h(x1)+h(x2)+…+h(xn−1)，
由h(x)在x=1处取得最小值1，在x=92处取得最大值534，
即有534⩾h(xn)=h(x1)+h(x2)+…+h(xn−1)⩾n−1，
即为n⩽574，可得n的最大值为14．
故选：C．
令h(x)=x2−2x+2，把题意转化为存在x1,x2,…,xn∈[0,92]，使得h(xn)=h(x1)+h(x2)+…+h(xn−1)，进而得到不等式534⩾h(xn)=h(x1)+h(x2)+…+h(xn−1)⩾n−1，从而求出n的最大值．
本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属于难题．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意可知23n∈N*，23m∈N*，
不妨设n=3N1，m=3N2，(N1,N2∈N*)，
∴mn=9N1N2，
若求mn的最小值，只需N1N2最小值即可，
即n=3，m=3，
此时即有3名学生不妨设为2名学生成绩合格，这两名学生至少做了4道题，
可设甲同学可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，
可设甲同学做出了A，B两道题，乙同学做出了B，C两道题，丙同学做出了0道题，
此时合格的学生为甲乙，即有23n名学生成绩合格，
A，B，C三道题目中有A，C两道题，有23n名学生求解出来，即满足测试中有23m道题为难题，
∴n=3，m=3符合题意，
∴mn的最小值为9．
故选：B．
由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从n=3，m=3进行讨论，即可得出mn的最小值．
本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】5π6
【解析】解：将f(x)=sin2x向右平移π6个单位长度得到g(x)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，
因为x∈[0,m]，所以2x−π3∈[−π3,2m−π3]，
由于函数g(0)=− 32，
该函数在[0,m]上的最小值为g(0)，故2m−π3≤π+π3m>0，故0即m的最大值为5π6．
故答案为：5π6．
首先根据三角函数的变换规则求出g(x)的解析式，再根据x的取值范围求出2x−π3的取值范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12.【答案】13
【解析】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，
∴不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
∴△AF1F2为等边三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
∴kDE=tan30°= 33，
由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，
设直线DE方程为y= 33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，
将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，
由韦达定理可得，x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，
|DE|= k2+1|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 13+1⋅ (−8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，
由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8×138=13．
故答案为：13．
根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．
13.【答案】[−1,5]
【解析】解：当x<−12时，f(x)=2x+1x2=2x+1x2，
∴f′(x)=−2x2−2x3=−2(x+1)x3，
当f′(x)>0时，即−1当f′(x)<0时，即x<−1，函数单调递减，
∴f(x)min=f(−1)=−1，
当x→−12时，f(−12)→0，
当x→−∞时，f(x)→0，
当x≥−12时，函数f(x)在[−12,+∞)为增函数，
∴f(x)min=f(−12)=12
∴f(x)的值域为[−1,0)∪[12，+∞)，
若存在a∈R使得f(a)+g(b)=0，
则g(b)=b2−4b−4≤1，
即b2−4b−5≤0，
解得b∈[−1,5]，
故答案为：[−1,5]
利用导数求出函数的值域，进而根据存在a∈R使得f(a)+g(b)=0，得到g(b)=b2−4b−4≤1，解不等式可得实数b的取值范围．
本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．
14.【答案】②④
【解析】解：(1)由题意可知sin200πt=−sin(200πt+φ)，
又∵sin(π+α)=−sinα，
∴φmin=π，
(2)由图像可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④是必选，
当t=1时，y=2sin3π=0，即f(1)=0且H(1)=0，
∴g(1)=0，∴排出①，
由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f(t)，g(t)的周期不同，
∴排出③，
故答案为：π，②④．
(1)由函数f(t)的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；
(2)由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．
15.【答案】①④
【解析】解：由AC⊥BD，AC⊥PD得AC⊥平面PBD，
因为OE⊂平面PBD，所以AC⊥OE，①正确
计算可得AC=2 3，PC=PA=2 2，AF= 2，AO= 3，
PO= PA2−AO2= (2 2)2− 32= 5，
cs∠PAC=AC2+PA2−PC22|AC||PC|=(2 3)2+(2 2)2−(2 2)22×2 3×2 2= 64，
CF2=AF2+AC2−2|AC||AF|cs∠PAC= 22+(2 3)2−2×2 3× 2× 64=8，
所以CF=2 2，②不正确；

由线面角定义知，∠POD就是直线PO与底面ABCD所成的角，sin∠POD=2 55，③不正确；
由AC⊥PBD得，AC⊥OE，S△ACE=12AC⋅OE= 3×OE，
|OE|max= 5，PB⊥OE时|OE|最小，|OE|min= 22④正确．
故答案为：①④．
①通过线面垂直证明线线垂直；②通过计算可得到结果；③通过线面角的定义与计算可得到结果；④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围．
本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
16.【答案】解：选条件①：
(Ⅰ)a=7时，csC=17，c=8，
利用c2=a2+b2−2abcsC，
整理得b2−2b−15=0，解得b=5或−3(负值舍去)，
故：b=5．
(Ⅱ)由于csC=17，0所以sinC= 1−cs2C=4 37，
利用正弦定理asinA=csinC，所以7sinA=84 37，解得sinA= 32，
由于c>a，所以A=π3，
则S△ABC=12absinC=10 3．
选条件②时，
(Ⅰ)csB=1114，所以sinB= 1−cs2B=5 314，
csC=17，所以sinC= 1−cs2C=4 37，
由正弦定理bsinB=csinC，整理得b5 314=84 37，解得b=5，
(Ⅱ)csB=1114，所以sinB= 1−cs2B=5 314，
csC=17，所以sinC= 1−cs2C=4 37，
所以csA=−cs(B+C)=−1114×17+5 314×4 37=12，
由于A∈(0,π)，
所以A=π3．
所以S△ABC=12bcsinA=12×5×8× 32=10 3．
【解析】选条件①：(Ⅰ)利用余弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；
选条件②时，(Ⅰ)利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB=BC，D，E分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥DB，且DE//AA1，又AA1⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，
∴AC⊥DE，又AC⊥DB，且DE∩DB=D，
∴AC⊥平面BDE；
(Ⅱ)根据题意可知直线DA，DB，DE两两相互垂直，
∴以DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，
建系如图，则根据题意可得：
D(0,0,0)，E(0,0,2)，A(1,0,0)，B(0,2,0)，
∴DE=(0,0,2)，AB=(−1,2,0)，AE=(−1,0,2)，
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=−x+2y=0n⋅AE=−x+2z=0，取n=(2,1,1)，
∴直线DE与平面ABE所成角的正弦值为：
|cs|=|DE⋅n||DE||n|=22× 6= 66；
(Ⅲ)根据(Ⅱ)可得点D到平面ABE的距离为：
|DE||cs|=|DE⋅n||n|=2 6= 63．
【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；
(Ⅱ)建系，根据向量法，向量夹角公式，向量数量积，即可求解；
(Ⅲ)建系，根据向量法，向量数量积，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解线面角问题，向量法求解点面距问题，向量数量积的运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)∵四边形B1F1B2F2是边长为2 2的正方形，
∴b=c=2,a=2 2，
∴椭圆C的标准方程为x28+y24=1；
(2)证明：设直线DE：x=t(y−n)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，
则直线DB2：y=y1+2x1x−2,EB1：y=y2−2x2x+2，
由y=y1+2x1x−2y=y2−2x2x+2，可得直线DB2与直线EB1交点M的纵坐标为yM=2(x2y1+x1y2)+4(x2−x1)x2y1−x1y2+2(x2+x1)=4y1y2−2n(y2+y1)+4(y2−y1)n(y2−y1)+2(y2+y1−2n)，
由x28+y24=1x=t(y−n)，可得(t2+2)y2−2t2ny+t2n2−8=0，
∴y1+y2=2t2nt2+2,y1y2=t2n2−8t2+2，且Δ=32t2+64−8t2n2>0，
又yM=4×t2n2−8t2+2−2n×2t2nt2+2+4(y2−y1)n(y2−y1)+2(2t2nt2+2−2n)=−32t2+2+4(y2−y1)n(y2−y1)−8nt2+2=4n，
∴四边形DB1B2E对角线交点的纵坐标与D，E两点的位置无关．

【解析】(1)依题意，求得a，b，c的值，由此求得椭圆方程；
(2)设出直线DE，直线DB2与直线EB1，进而表示出交点M的纵坐标，再联立椭圆方程及直线DE的方程，由韦达定理转化化简即可得证．
本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=12x2−(a+1)x+alnx，x>0，
∴f′(x)=x−a−1+ax=(x−1)(x−a)x，
∵f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
故对∀x>1，f′(x)=(x−1)(x−a)x≥0，即x−a>0，
故a≤1，
当a≤1，对∀x>1，f′(x)=(x−1)(x−a)x>0，
故f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
故a的取值范围是(−∞,1]；
(Ⅱ)①当a≤0时，令f′(x)=0，解得：x=a(舍)或1，
故x，f′(x)，f(x)的变化如下：
②当0故x，f′(x)，f(x)的变化如下：
③当a=1时，对∀x>0，f′(x)=(x−1)2x≥0(当且仅当x=1时“=”成立)，
故f(x)在(0,+∞)单调递增，
④当a>1时，令f′(x)=0，解得：x=1或a，
x，f′(x)，f(x)的变化如下：
，
综上：a=1时，1不是极值点，
当a>1或a<1时，1是极值点；
(Ⅲ)存在，满足条件的实数a的个数为2．
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，结合函数的单调性确定a的范围即可；
(Ⅱ)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，判断即可；
(Ⅲ)根据直线和曲线相切，结合二次函数的性质求出a的个数即可．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
20.【答案】解：(Ⅰ)解：因为1+3=4∉A，3−1=2∉A，故数列0，1，3，5不具有性质P，
因为2+0=2，2−0=2；4+0=4，4−0=4；6+0=6，6−0=6；4+2=6，4−2=2；6+2=8，6−2=4；6+4=10，6−4=2，
这六组数中，每组中的两个数至少有一个是数列0，2，4，6中的项，故数列0，2，4，6具有性质P．
(Ⅱ)证明：因为数列A：a1，a2，…，an(0≤a1所以an−an与an+an中至少有一个是数列A中的项，
因为0≤a1所以a1=0，
由数列A具有性质P，可知an−ak∈A(k=1,2,3,…,n)，
所以an−a1>an−a2>an−a3>…>an−an，
所以an−a1=an，
an−a2=an−1，
an−a3=an−2，
……
an−an=a1，
从而nan−(a1+a2+…+an)=an+an−1+an−2+…+a1，
所以nan−Sn=Sn，所以Sn=nan2．
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知a5−a4=a2，a5−a3=a3，所以a5=a4+a2=2a3，
a3−a2=a2，所以a3=2a2，a4=3a2，a5=4a2，
所以数列a1，a2，a3，a4，a5是以0为首项，a2为公差的等差数列
【解析】(Ⅰ)利用性质P分别判断即可的结论；
(Ⅱ)由性质P可得an−an与an+an中至少有一个是数列A中的项，根据0≤a1由性质P可知an−a1>an−a2>an−a3>…>an−an，从而可得an−a1=an，an−a2=an−1，……an−an=a1，将这n个等式左右两端同时相加，即可证得Sn=nan2；
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得a3=2a2，a4=3a2，a5=4a2，从而得证．
本题主要考查新定义的应用，数列的求和，等差数列的证明，考查逻辑推理能力，属于难题．
21.【答案】解：(Ⅰ)①A={1,5}不是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底．理由是3≠λ1×1+λ2×5；
②A={2,3}是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底．理由是
1=−1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3. …3分
(Ⅱ)不妨设a1形如1×ai+0×aj(1≤i≤j≤m)的正整数共有m个；
形如1×ai+1×ai(1≤i≤m)的正整数共有m个；
形如1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有Cm2个；
形如−1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有Cm2个．
又集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*)，含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．
故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m(m+1)≥n.…8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知m(m+1)≥19，所以m≥4．
当m=4时，m(m+1)−19=1，即用基底中元素表示出的数最多重复一个．…*
假设A=a1，a2，a3，，a4为M={1,2,3,…,19}的一个4元基底，
不妨设a1当a4=10时，有a3=9，这时a2=8或7．
如果a2=8，则由1=10−9，1=9−8，18=9+9，18=10+8，这与结论*矛盾．
如果a2=7，则a1=6或5.易知A={6,7,9,10}和A={5,7,9,10}都不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4=11时，有a3=8，这时a2=7，a1=6，易知A={6,7,8,11}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4=12时，有a3=7，这时a2=6，a1=5，易知A={5,6,7,12}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4=13时，有a3=6，a2=5，a1=4，易知A={4,5,6,13}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4=14时，有a3=5，a2=4，a1=3，易知A={3,4,5,14}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4=15时，有a3=4，a2=3，a1=2，易知A={2,3,4,15}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4=16时，有a3=3，a2=2，a1=1，易知A={1,2,3,16}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛盾．
当a4≥17时，A均不可能是M的4元基底．
当m=5时，M的一个基底A={1,3,5,9,16}．
综上所述，m的最小可能值为5.…14分
【解析】(I)利用二元基底的定义加以验证，可得A={1,5}不是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底，A={2,3}是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底．
(II)设a1(III)由(Ⅱ)可知m(m+1)≥19，所以m≥4，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”.再讨论当m=4时，集合A的所有情况均不可能是M的4元基底，而当m=5时，M的一个基底A={1,3,5,9,16}，由此可得m的最小可能值为5．
本题以一个集合为另一个集合的m元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
递减
极小值
递增
x
(a,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
递减
极小值
递增
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
递增
极大值
递减

2022-2023学年北京五十七中高二（下）期中数学试卷（含解析）

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