北京市第一零一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 抛物线的准线方程是（ ）
2. 已知等差数列中，，，则公差等于（ ）
3. 在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（ ）
4. 已知，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
5. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是
6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是以线段为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是（ ）
7. 已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（ ）
8. 设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（ ）
9. 如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为（ ）
10. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则下列关于曲线的判断错误的是（ ）
二、填空题
11. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为___________．
12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则的面积为_____．
13. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．

14. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为_______．
16. 已知数列满足，给出下列四个结论：
①，数列均不为常数列；
②存在，使得数列单调递减；
③若，则存在，使得当时，；
④若，则存在，使得对任意，都有．
其中，所有正确结论的序号为_____．
三、解答题
17. 已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的通项公式及的前项和．
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
①求二面角的大小；
②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：平面．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，求的值；
(3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上．
20. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．
(1)直接判断数列和是否为凸数列；
(2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有；
(3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．－5
B．2
C．2
D．5
A．3
B．
C．6
D．
A．2
B．
C．
D．
A．2
B．
C．4
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．30
A．曲线与直线交于3个不同的点，且这三个点的横坐标可以构成等差数列
B．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）
C．曲线上存在一点，使得点到两坐标轴的距离之和大于2
D．曲线上任意两点之间的最大距离为