北京市第五十七中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市第五十七中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 若，则（ ）
A. 1B. 2C. 5D.
2. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. ，则等于
A. 32B. -32C. -33D. -31
4. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )
A. 240种B. 120种C. 96种D. 480种
5. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则m；
③若，，，则；
④若，，，则．
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③B. ①②C. ③④D. ②③
7. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
8. 已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
9. 设函数，则下列选项错误的是（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
10. 已知实数，满足 ，，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种．
12. 展开式的常数项为 ．（用数字作答）
13. 已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为________．
14. 如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线与相交于点D．若双曲线的离心率为2，则的余弦值是______.
15. 已知函数和（且），若两函数图象相交，则其交点的个数以下正确的是______．
（1）当函数和的图象有两个公共点；
（2）当时，函数和的图象有两个公共点；
（3）当时，函数和图象有一个公共点；
（4）当函数和的图象只有一个公共点．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知数列前项和，数列是正项等比数列，满足，.
（1）求，的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求.
17. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
（1）求的值；
（2）记的内角的对边分别为.
请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
①若，且，求周长最大值.
②若，且，求的面积.
18. 如图在三棱柱中，为的中点，，.
（1）证明：；
（2）若，且满足：______，______（待选条件）.
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.
①三棱柱的体积为；
②直线与平面所成的角的正弦值为；
③二面角的大小为60°；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
（3）若函数有两个零点，且，求的取值范围.
20. 已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.
（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；
（Ⅱ）若,,，求取值范围.
21. 定义为有限项数列的波动强度.
（1）当时，求；
（2）若数列满足，求证：；
（3）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列