初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用图文ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用图文ppt课件，共135页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，勾股定理，知1－讲，知1－练，cm2等内容，欢迎下载使用。
注意勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件.
特别提醒1. 当应用勾股定理时, 要分清直角边和斜边, 尤其在应用a2＋b2＝c2时, 斜边长只能是c. 若b为斜边长, 则关系式是a2＋c2＝b2; 若a为斜边长, 则关系式是b2＋c2＝a2.2.若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边)，要分类讨论，以免漏解.
在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a， b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝19，a＝13，求b(结果保留根号)；(3)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求b.
解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.
1－1. 在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2＋AB2＋AC2＝ (　　)A．20 B．100C．200 D．1441－2.[期末·上海闵行区]一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边长为10 cm，那么这个直角三角形的面积为_______．
在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝8，求BC的长.
解题秘方：当不明确已知边是直角三角形的斜边还是直角边时，要先分类讨论，再应用勾股定理求解.
2－1.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值有 ( )A. 1 个 B. 2 个C. 3 个 D. 4 个2－2.在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是____________．
勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下：
在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理
特别解读通过拼图证明命题的思路：1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3. 利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.
图20.1－1 ①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c. 图20.1－1 ②是以c为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
解：如图20.1－2即为所求. 它是直角梯形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；
(2)利用这个图形证明勾股定理.
3－1. 如图①，Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，∠ACB＝90°，以AC 为一边作正方形ACDE，点B在边CD上，将△ABC裁剪拼接至△AFE 的位置，如图②，请用图①、图②的面积不变证明勾股定理．
证明：如图，连接BF.∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2.∵CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a，∴BD＝CD－BC＝b－a，DF＝DE＋EF＝a＋b.∵∠CAE＝90°，∴∠BAC＋∠BAE＝90°.∵∠BAC＝∠FAE，∴∠FAE＋∠BAE＝90°，∴△BAF为等腰直角三角形，
利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是将实际问题抽象成数学模型(直角三角形)，再利用勾股定理求解.
1. 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
2. 勾股定理应用的常见类型(1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长；(2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
先将点的坐标转化为线段长度，再利用勾股定理求解
特别提醒若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线(如作三角形的高)构造直角三角形.
如图20.1－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥ AB，垂足为D. 求CD的长.
解题秘方：先用两种方法分别计算同一图形的面积，再利用面积相等列出一个方程，解方程即可求出斜边上的高.
4－1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为_______.
如图20.1－4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8，正方形A，B，C 的面积分别是15，12，17，求正方形D 的面积.
解题秘方：与直角三角形三边相关的正方形、等边三角形、半圆形等，一般都具有相同的结论：两条直角边上图形的面积之和等于斜边上图形的面积.
解：根据勾股定理可知，S正方形A＋S正方形B＝S正方形P，S正方形C＋S正方形D＝S正方形Q，S正方形P＋S正方形Q＝S正方形M，∴ S正方形A＋S正方形B＋S正方形C＋S正方形D＝S正方形M．∵ S正方形M＝82＝64，∴ S正方形A＋S正方形B＋S正方形C＋S正方形D＝64.又∵正方形A，B，C的面积分别是15，12，17，∴ S正方形D＝64－(15＋12＋17)＝20，即正方形D的面积为20．
5－1.[期中·西安临潼区]如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形， 其中阴影部分的面积是( )A. 49 B. 64C. 225 D. 289
如图20.1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中 线，MN⊥AB，垂足为N. 求证：AN2－BN2＝AC2.
证明：∵ MN⊥AB，∴∠MNA＝∠MNB＝90°，∴在Rt△AMN中，AN2＋MN2＝AM2；在Rt△BMN中，BN2＋MN2＝MB2.∴AN2－BN2＝(AM2－MN2)－(MB2－MN2)＝AM2－MB2.在Rt△AMC中，∵∠C＝90°，∴ AM2－MC2＝AC2.又∵AM是Rt △ABC的边BC上的中线，∴ MC＝MB.∴ AM2－MB2＝AC2. ∴ AN2－BN2＝AC2.
6－1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥ AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.
证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.∵∠C＝90°，∴BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. ∴BP2＝BC2＋AP2.
一架5 m 长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端距墙脚3 m，若梯子顶端下滑1 m，求梯子底端滑动的距离.
7－1. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为7 m，顶端距离地面24 m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20 m． 则小巷的宽度为________.
易错警示并不是所有的无理数都是用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，0.121 121 112…(相邻两个2 之间1 的个数逐渐加1)等.
思路引导：在数轴上画表示无理数的点的步骤.
也可作OA＝1，AB＝3
8－1.如图，在数轴上，点O为原点，OB＝1，过点O作直线l⊥OB，在直线l上截取OA＝2，且A在数轴上方. 连接 AB，以点B为圆心，AB长为半径作弧交数轴于点C，则点C 表示的数为________.
建立勾股定理模型求线段的长
如图20.1－8，△ABC中，∠B＝60°，AC＝50，AB＝20. 求BC的长.
类型1 构造直角三角形求线段的长
技巧点拨构造法：利用勾股定理求线段的长是勾股定理的一个重要应用，当题目中没有直角三角形时，往往作垂线构造直角三角形，然后利用勾股定理可求得线段的长.但是构造直角三角形时，尽量不要破坏已知条件中的特殊角和已知的边.
如图20.1－9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A 与点B 重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为_______．
类型2 利用折叠求线段的长
思路导引：求解折叠问题的一般步骤：
解：由折叠的性质，得AE＝BE，设CE＝x，则AE＝BE＝8－x，在Rt△BCE 中，由勾股定理，得BC2＋CE2＝BE2，即 42＋x2＝ (8－x)2，解得x＝3.因此CE 的长为3 .
解题通法关于折叠问题要紧扣折叠前后的对应边相等，对应角相等，其解题步骤为：1. 利用重合的图形传递数据(一般不用重合的图形进行计算)；2. 选择直角三角形，这个直角三角形一般已知一边，另两边可通过重合图形找到数量关系，便能利用勾股定理列方程求解.
建立勾股定理模型求不规则图形的面积
如图20.1－10，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，∠ABC＝90°. 求四边形ABCD 的面积.
类型1 分割法求不规则图形的面积
解题秘方：将不规则的四边形分割成规则的特殊三角形，再利用特殊三角形的性质求面积.
方法总结转化法：不规则图形的面积不易直接求得，往往通过转化的方法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差.常用的有分割法和补形法两种，如例11中将四边形的面积转化为等边三角形和直角三角形的面积和，例12中将四边形的面积通过补形转化为两个直角三角形的面积差.
如图20.1－11，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°. 求四边形ABCD 的面积.
类型2 补形法求不规则图形的面积
解题秘方：将不规则的四边形补形成规则的特殊三角形，再利用特殊三角形面积的差求解.
技巧点拨求不规则图形的面积时，我们一般通过作辅助线将不规则的图形转化成几个规则的图形，再利用所学规则图形的面积公式求解. 本题通过补形将不规则的图形转化成两个直角三角形，以便利用勾股定理求出各线段的长，从而求出各三角形的面积. 进而由两个直角三角形的面积差得到四边形的面积.
建立勾股定理模型解决实际问题
如图20.1－12，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后他又将绳子末端拉到距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m，请你求出旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计).
解题秘方：作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解.
解：如图20.1－12，记旗杆顶端为点A，旗杆底端为点D，绳子末端为点C，过点C作CB⊥AD于点B.设旗杆的高度为x m，则AC＝AD＝x，AB＝x－2，BC＝8.在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17.因此，旗杆的高度为17 m.
技巧点拨图中没有直角，无法利用勾股定理，因此需要作垂线构造直角三角形.合理设出未知数，根据勾股定理建立方程，解方程即可得解.
建立勾股定理模型求最短距离
如图20.1－13，一个牧童正在小河南4 km 的A处牧 马，此时正位于他的小屋B的西8 km 北7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
类型1 实际问题中的最短距离
解题通法求直线同侧的两点到直线上一点的最短路径长的方法：先找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段长就是最短路径长.以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，将分散的线段集中在同一个三角形中，然后利用勾股定理即可求出直线同侧的两点到直线上一点的最短路径长.
模型解读：利用“将军饮马”模型求最值已知定点A，B，在直线l上确定一点P，使点P到A，B的距离之和最小. 方法如下：如图20.1－15，作点A 关于直线l的对称点A ′，连接A′B，其与直线l的交点即为所求的点P，此时PA＋PB 的值最小，且PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.
如图20.1－16所示的长方体的高为4 cm，底面是长为5 cm，宽为3 cm 的长方形. 一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点B. 求：
类型2 几何图形中的最短距离
(1)蚂蚁经过的最短路程；
(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．
解：5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，因此蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程是30 cm .
解题通法解决有关立体图形的最短路径问题的方法：第一步，化曲为直：化“立体”为“平面”，将求立体图形上两点间的路程转化为求平面内两点间的距离；第二步，定直角三角形：一般需构造直角三角形；第三步，利用勾股定理求出最短路径长.
特别解读长方体的长、宽、高分别为a，b，c. 若a>b>c，则展开时，将b，c拼成一条直角边，最长边a作为一条直角边，此时斜边AB的长为蚂蚁经过的最短路程.
建立勾股定理模型解决动态探究题
如图20.1－18，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝ 8，BC＝6，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→C方向运动，且速度为每秒1个单位长 度，点Q从点C开始沿C→B→A方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为t 秒.
(1)出发2秒后，求P，Q两点间的距离；
(2)当t为何值时，△APB能成为等腰三角形？
(3)当点Q在BA上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.
以固定边BC的情况进行分类：①当BC 为底边时；②当BC为腰且B为顶点时；③当BC为腰且C为顶点时.
面积法求直角三角形斜边上的高
解题策略解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解.一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变：第一，根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量；第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用含自变量的代数式表示出来，然后根据题目的要求，依据几何、代数知识求解.
提示∵ 点P在线段AC上运动，∴∠BPA＝∠C＋∠CBP. ∵∠C＝90°，∠CBP≥0°，∴∠BPA≥90°，∴△ABP若为等腰三角形，∠BPA只能作顶角.
图解①CQ＝BQ，如图20.1－21.②BQ＝BC，如图20.1－22.③CQ＝CB，如图20.1－23.
易错警示在(3)中，容易出现忽视分类而只得出其中一种情况的错误.
由于图形的形状不定导致漏解
腰长为5，高为4 的等腰三角形的底边长为______________.
诊误区：本题有两个易错点，一是没有说明“高为4”是指腰上的高还是底边上的高；二是等腰三角形的顶角可以是锐角也可以是钝角，从而高可以在三角形内，也可以在三角形外.
[中考·连云港] 如图20.1－25，长为3 m 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h 为______m．
利用勾股定理解简单的实际问题
试题评析：本题考查勾股定理的实际应用，根据条件直接利用勾股定理计算即可．
[中考·眉山] 图20.1－26 ①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.
若图20.1－26 ①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图20.1－26 ②，则图20.1－26 ②中大正方形的面积为(　　)A．24 B．36 C．40 D．44
试题评析：本题考查了勾股定理的证明、正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
解：如图20.1－26 ①，设直角三角形的两直角边长为a， b，斜边长为c.∵图20.1－ 26 ①中大正方形的面积是24，∴ a2＋b2＝c2＝24.
勾股定理与尺规作图综合求线段长
若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(　　)A．9B．8C．7D．6
试题评析：本题借助尺规作图考查勾股定理，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理推断出∠BAC＝90°.
3. 如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D，B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为( )A．6 cm2 B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2
5. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4 cm，宽为 3 cm，高为12 cm，在它的一角处开一个插吸管的小 孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3 cm，则此吸管的总长度为_______cm.
6. 直角三角形的两条边长分别为3 和4，则这个直角三角形斜边上的高为________．
7. 如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，分别以Rt△ABC的各边为直径向外作半圆，如果a＝3，c＝5，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为______.
9. [中考·成都]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A (3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为_______．
11.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为8的正方形；
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD.
(1)若AC＝13，AB＝12，AD＝15， 求CD 的长；
(2)若AC平分∠BAD，BC＝9，CD＝15，求AB的长.
解：如图，过C作CE⊥AD于E.则∠AEC＝∠CED＝90°.∵BC＝9，CD＝15.∴BD＝BC＋CD＝24.∵AC平分∠BAD，∠ABC＝90°，∴CE＝BC＝9，
(1)求观测点C到公路MN的距离. (结果保留根号)
14.[期中·成都双流区]葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长(即底面圆的周长)为30 cm，从点A 绕一圈到点B，葛藤升高40 cm，则它爬行的路程是多少厘米？