2026高考数学二轮复习讲义第一章：集合与常用逻辑用语（教师版+学生版）

这是一份2026高考数学二轮复习讲义第一章：集合与常用逻辑用语（教师版+学生版），共7页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，典例2-1，典例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
1、集合中的逻辑关系（备注：全集为I）
（1）交集的运算性质．
A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩I=A，A∩A=A，A∩∅=∅．
（2）并集的运算性质．
A∪B=B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪I=I，A∪A=A，A∪∅=A．
（3）补集的运算性质．
∁I(∁IA)=A，∁I∅=I，∁II=∅，(∁IA)∩A=∅，A∪(∁IA)I．
补充性质：A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔∁IB⊆∁IA⇔A∩∁IB=∅．
（4）结合律与分配律．
结合律：A∪B∪C=A∪B∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C．
分配律：A∩B∪C=A∩B∪A∩C，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)．
（5）反演律（德摩根定律）．
∁IA∩B=∁IA∪∁IB，∁I(A∪B)=(∁IA)∩(∁IB)．
即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”．
2、由n(n∈N∗)个元素组成的集合A的子集个数
A的子集有2n个，非空子集有2n−1个，真子集有2n−1个，非空真子集有2n−2个．
3、容斥原理
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)．
4、从集合与集合之间的关系上看
设A=x|p(x),B=x|q(x)．
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件（p⇒q），q是p的必要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且q⇏p；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”．
（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
（3）若A=B，则p与q互为充要条件．
经典真题回顾
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题
【答案】B
【解析】对于p而言，取x=−1，则有x+1=00在[1,2]上恒成立，
即f(x)=x2+lnx在[1,2]上恒为增函数，则f(x)min=f(1)=1，故a0”是真命题，
当m−1=0，即m=1时，命题成立；
当m−1≠0时，得m−1>0Δ=m−12−4m−1