专题1.2 集合与常用逻辑用语（讲义+试题） 2025-2026高三数学一轮复习

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1.充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系
重要结论：
1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题.即对M中任意任意一个x，px成立，可用符号简记为“∀x∈M，px”．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题.即存在M中的元素x， px成立，可用符号简记为“∃x∈M，px”．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
（2）含有一个量词的命题的否定
4．常见的否定形式
教材改编：
1.【人教A版必修一 1.5.2 例5 P31】写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；
(2)p：对任意x，y∈N，都有x−y∈N；
(3)p：∀x，y∈R，x2+y2+2x−4y+5=0．
2.【人教A版必修一 习题1.4 练习5 P23】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a≤b≤c.我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2，请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的充要条件，并加以证明．
考点归纳
考点一 充分条件、必要条件的判断
1.定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
即若p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.
注意区别：
（1）p是q的充分不必要条件⇔p⇒q且q⇏p；
（2）p的充分不必要条件是q⇔q⇒p且p⇏q.
2.集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p:A=xpx,q:B=xqx，
通过集合A,B之间的包含关系进行判断．即小范围推得大范围.
①若A⊆B，则p是q的充分条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；
③若A≠⊂B，则p是q的充分不必要条件；
④若B≠⊂A，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A=B，则p是q的充要条件；
⑥若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.
3.传递法：
①若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件;
②若p是q的必要条件，q是r的必要条件，则p是r的必要条件;
③若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．
若直接判断比较困难时，可举出反例说明．
例1.(2025·山东省临沂市·模拟题)若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
例2.(2025·陕西省·同步练习)已知向量a，b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c⋅a=0且c⋅b=0是l⊥α的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

练1-1(2025·江苏省无锡市·期末考试) 给出下列四个命题，其中正确命题为( )
A. a>b是3a>3b的充分不必要条件
B. α>β是csα2S5”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
考点二 充分条件、必要条件的探究与应用
1.充分条件与必要条件的探求
先找到命题成立的充要条件⇒对充要条件的范围进行放大或缩小⇒得到相应的充分条件、必要条件、充分不必要条件或必要不充分条件.
2.根据充分、必要条件求解参数范围
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系⇒根据集合之间的关系，列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
注意：在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，要注意区间端点值的检验，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
3.数形结合思想的应用
在解答有关充分必要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题.
例3.(2025·山东省淄博市·模拟题)设a为实数，则“a0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
例4.(2025·山东省烟台市·月考试卷)已知集合A=x3x−1x−2≤1，集合B=xx2−a+2x+2a0,−2x+a,x≤0有且只有一个零点的充要条件是( )
A. a0，总有(x+1)ex≤1 D. ∀x≤0，总有(x+1)ex≤1
练3-1（2025·湖南省·单元测试)（多选）下列说法正确的是( )
①命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”；
②命题“∀x∈[0,+∞)，x3+x≥0”的否定是“∃x∈[0,+∞)，使得x3+x1”的否定是“∀x>0，都有2x(x−a)>1”．
A. ① B. ②C. ③ D. ④
练3-2(2025·重庆市·期末考试)命题p：存在实数x，使得x2−ax+4≤0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A. [−4,4] B. (−4,4)
C. (−∞,−4]∪[4,+∞) D. (−∞,−4)∪(4,+∞)
考点四 根据含量词命题真假求参数的取值范围
根据含量词命题真假求参数的取值范围的思路：
1.对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
2.转化为恒成立问题或有解问题解决.先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立时，可根据以下原则进行求解：
①∀x∈D,m≤fx⇔m≤fxmin；
②∀x∈D,m≥fx⇔m≥fxmax；
③∃x∈D,m≤fx⇔m≤fxmax；
④∃x∈D,m≥fx⇔m≥fxmin.
例6.(2025·广东省·月考试卷)若命题：“任意实数x使得不等式ax2+(a−2)x+14>0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
例7.(2025·河北省保定市·期末考试)若命题“∃x0∈R，2x02−3mx0+9cb2”的充要条件是“a>c”
D. “a>1”是“1ac2;
(2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2a2，
所以a2+b2c2，则∠C不是直角.
假设∠C为钝角，则a2+b2c2矛盾，可知∠C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
(2)同理可证．
例1.
解：根据基本不等式可得：
当a>0,b>0时，a+b≥2 ab，
则当a+b≤4时，有2 ab≤a+b≤4，
解得ab≤4，充分性成立；但当a=1,b=4时，满足ab≤4，
但此时a+b=5>4，所以必要性不成立，
综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
例2.
解：由c⋅a=0,c⋅b=0得，c⊥a,c⊥b；
∵a,b所在直线不一定相交，又c所在直线为l，
∴不一定能得到l⊥α；
即c⋅a=0，且c⋅b=0不是l⊥α的充分条件；
若l⊥α，向量a,b所在直线在平面α内，c在直线l上，
∴c⊥a,c⊥b，
∴c⋅a=0，且c⋅b=0，
即c⋅a=0，且c⋅b=是l⊥α的必要条件．
综上得c⋅a=0，且c⋅b=是l⊥α的必要不充分条件．
故选B．
练1-1.
解：对于A，易知指数函数y=3x是增函数，
则“a>b”⇔“ 3a>3b”，因此“a>b”是“ 3a>3b”的充要条件，故A不正确；
对于B，取α=π3+2π，β=π3，则csα=csβ，
反之取α=2π3，β=2π ，满足csαβ”是“ csα2(5a1+10d)，
∴21d>20d，
∴d>0，满足必要性;
S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d，
2S5=2(5a1+10d)=10a1+20d，
当d>0时，21d>20d，
∴S4+S6>2S5，满足充分性．
故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件，
故选C．
例3.
解：由(a−1)(a−2)>0可得a>2或a2或a