第06讲 一元二次方程（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

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考点一
一元二次方程
1.一元二次方程
（1）一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
注意一下几点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程.
（2）一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项.
（3）一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据.
直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=,x2=；
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法.
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根.
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根.
配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开.
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.
公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程.
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根.
一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4a.
一元二次方程根的判别式
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法.
（2）因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；
④解一元一次方程即可的到原方程的解.
7. 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q；
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2=.
【题型1 由一元二次方程的概念及其解求字母的值】
【例1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于x的一元二次方程a+2x2+x+a2−4=0的一个根是x=0，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．2或−2D．12
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+a2−4=0可得a2−4=0，即可求答案．
【详解】解：a+2x2+x+a2−4=0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，即a≠−2①
由一个根x=0，代入a+2x2+x+a2−4=0，
可得a2−4=0，解之得a=±2；②
由①②得a=2；
故选A
【变式1-1】（2024·江苏南京·中考真题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1： ．
【答案】如x2=0, x2-x=0
【详解】只要符合题中条件即可．
【变式1-2】（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【答案】A
【详解】一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，
将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0，
合并为：x2-5x+5=0，
故答案为：A.
【变式1-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若关于x的方程【x,x+1】★mx=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m14C．m>14且m≠0D．m0，且m≠0，即可得到答案.
【详解】解：∵【x,x+1】★mx=0，【a，b】★c=ac+b
∴x⋅mx+x+1=0，即mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x,x+1】★mx=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=12−4×m×1>0，且m≠0，
解得m0,例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1．若x⊗1=−34，则x的值为 ．
【答案】−12或74
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,
而x⊗1=−34，
∴①当x≤0时，则有x2−1=−34，
解得，x=−12；
②当x>0时，−x+1=−34，
解得，x=74
综上所述，x的值是−12或74，
故答案为：−12或74．
【变式2-3】（2024·湖北随州·中考真题）将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2−x−1=0，且x>0，则x4−2x3+3x的值为（ ）
A．1−5B．3−5C．1+5D．3+5
【答案】C
【分析】先求得x2=x+1，代入x4−2x3+3x即可得出答案．
【详解】∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1，x=1±(−1)2−4×1×(−1)2=1±52，
∴x4−2x3+3x
=(x+1)2-2x(x+1)+3x
=x2+2x+1-2x2-2x+3x
=-x2+3x+1
=-(x+1)+3x+1
=2x，
∵x=1±52，且x>0，
∴x=1+52，
∴原式=2×1+52=1+5，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
【题型3 由一元二次方程判断根的情况】
【例3】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−mx−n2+mn+1=0，其中m,n满足m−2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【变式3-1】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2−6x=0B．x2−9=0
C．x2−6x+6=0D．x2−6x+9=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程的两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac0 ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B．Δ=02−4×1×−9=36>0 ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C．Δ=−62−4×1×6=12>0 ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D．Δ=−62−4×1×9=0 ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
【变式3-2】（2024·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为x2−k−3x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵k−3⊗x=k−1，
∴x2−k−3x=k−1，
∴x2−k−3x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=k−32−41−k=k2−6k+9−4+4k=k−12+4>0，
∴方程x2−k−3x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为x2−k−3x+1−k=0是解题的关键．
【变式3-3】（2024·河北·中考真题）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=−1，他核对时发现所抄的c比原方程的c的值小2，则原方程的根的情况（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=−1D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案．
【详解】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0a≠0时，只抄对了a=1，b=4解出其中一个根是x=−1，
∴−12+4×−1+c=0，
解得：c=3，
故原方程中c=5，
∴原方程为x2+4x+5＝0，
则b2−4ac＝16−4×1×5=−40，
∴(k−1)2−(2−k)2
=−k−1−2−k
=−1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
【变式4-1】（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线y=x2−x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
【答案】c>14
【分析】本题主要考查了抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点问题，掌握抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点与x2−x+c=0没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2−x+c与x轴没有交点，
∴x2−x+c=0没有实数根，
∴Δ=12−4×1×c=1−4c14．
故答案为：c>14．
【变式4-2】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，解不等式得到k的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4k>0，
解得k0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=m+2m，x1x2=14，结合1x1+1x2=4m，即可求出m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴m≠0Δ=(m+2)2−4m⋅m4>0，
解得：m>−1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+m4=0的两个实数根，
∴x1+x2=m+2m，x1x2=14，
∵1x1+1x2=4m，
∴m+2m14=4m，
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于m的不等式组；(2)牢记x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
【变式6-3】（2024·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根x1，x2，且x1+2x2+2−2x1x2=17，则m=（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2m,x1·x2=m2−4m−1，把x1+2x2+2−2x1x2=17变形为2(x1+x2)−x1x2−13=0，再代入得方程m2−8m+12=0，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根,
∴Δ=(−2m)2−4(m2−4m−1)≥0,
∴m≥−14,
∵x1，x2是方程x2−2mx+m2−4m−1=0的两个实数根,
∵x1+x2=2m,x1·x2=m2−4m−1，
又x1+2x2+2−2x1x2=17
∴2(x1+x2)−x1x2−13=0
把x1+x2=2m,x1·x2=m2−4m−1代入整理得,
m2−8m+12=0
解得,m1=2,m2=6
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合2(x1+x2)−x1x2−13=0，找出关于m的一元二次方程．
考点二
一元二次方程的应用
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系.
设：就是指设元，也就就是设出未知数.
列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程.
解：就就是解方程，求出未知数的值.
验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意.
答：写出答案.
列一元二次方程解应用题的几种常见类型
数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2.
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c、
（2） 增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b.
（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程.
【题型7 平均增长（下降）率问题】
【例7】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25%
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32(1+x)2=50，
解得：x1=0.25=25%,x2=−2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵1600×100=160000