第03讲+一元二次方程及其应用（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

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目 录
01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻 PAGEREF _Tc214359310 \h 2
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建 PAGEREF _Tc214359311 \h 3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关 PAGEREF _Tc214359312 \h 5
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测 PAGEREF _Tc214359313 \h 18
05·重难突破·思维进阶 \l "_Tc214359314" 76
考点一 解一元二次方程
解一元二次方程的核心逻辑是“根据方程结构选最优解法”,不同解法对应不同步骤，以下按中考优先选择的顺序梳理四种解法的完整步骤：
一、直接开平方法(适用于完全平方形式或缺一次项方程)
1.变形：将方程整理为(x+m)2=n的形式(n≥0)，示例：方程2x2−8=0变形为x2=4，即(x+0)2=4。
2.开方：等式两边同时开平方，得x+m=±n
注意：必须加“士”，否则会漏根。
3.求解：移项计算，得到方程的两个根x=−m±n，示例：x=±2，即x1=2 ,x2=−2。
4.特殊情况：若n0：方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0：方程有两个相等的实数根；
若Δ0代入得x=4±62。
5.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。
1．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：x2−2x−2=0；
【答案】x1=1+3，x2=1−3；
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为x−12=3，再进一步解方程即可．
【详解】解：（1）x2−2x−2=0，
方程移项得：x2−2x=2，
配方得：x2−2x+1=3，即x−12=3，
开方得：x−1=±3，
解得：x1=1+3，x2=1−3．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程x2+2x−4=0；
【答案】x1=−1+5，x2=−1−5；
【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法求解；
【详解】解：（1）x2+2x−4=0，
移项，得x2+2x=4，
配方，得x2+2x+1=5，即x+12=5，
开平方，得x+1=±5，
解得x=−1±5，
即x1=−1+5，x2=−1−5
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2−7x=−12
【答案】x1=4，x2=3
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
【详解】解：x2−7x=−12，
x2−7x+12=0，
(x−4)(x−3)=0，
x−4=0或x−3=0，
∴x1=4，x2=3
考点二 一元二次方程根的判别式
一、判别式的定义与表达式
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)，我们把代数式
Δ=b2−4ac叫做这个一元二次方程根的判别式，其中“△”是判别式的专用符号。
关键前提：使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0，若a=0，方程退化为一元一次方程，不存在判别式。
二、判别式与根的情况的关系
在实数范围内，判别式的符号直接决定一元二次方程实数根的个数，具体对应关系如下：
1.当Δ>0时：方程有两个不相等的实数根，此时代入求根公式可得x1,2=−b±b2−4ac2a,两个根的数值存在明显差异。
2.当Δ=0时：方程有两个相等的实数根，求根公式可简化为x1=x2=−b2a，两个根的数值完全相同。
3.当Δ0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ0，
解得a0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
考点三 一元二次方程根与系数的关系
一、定理的适用前提
1.方程必须是一元二次方程，即化为一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)。
2.方程有实数根，即根的判别式Δ=b2−4ac≥0，这是使用韦达定理的关键前提，若忽略此条件易导致解题错误。
二、定理的核心内容
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)的两个实数根为x1和x2，则：x1+x2=−ba, x1x2=ca
简单记忆：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。
特殊形式方程的根与系数关系
·当二次项系数a=1时，方程为x2+px+q=0，此时两根关系简化为：
x1+x2=−p,x1x2=q
·当常数项c=0时，方程为ax2+bx=0，两根为x1=0,x2=−ba，满足
x1+x2=−ba，x1x2=0.
常用变形公式：
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
1x1+1x2=x1+x2x1x2
|x1−x2|=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=Δ|a|
1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则x12x2+x1x22的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为x1和x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【详解】解：∵x1和x2是方程x2−x−2=0的两个根，
∴x1+x2=1，x1x2=−2，
∴x12x2+x1x22=x1x2x1+x2=−2×1=−2，
故选：C
2．（2025·山东东营·中考真题）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2−25x−1=0的两个实数根，则代数式x12−24x1+x2的值为（ ）
A．0B．25C．26D．−1
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出x12−25x1−1=0，x1+x2=25，将x12−25x1−1=0，x1+x2=25代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−25x−1=0的两个实数根，
∴x12−25x1−1=0，x1+x2=25，
∴x12−25x1=1，
∴x12−24x1+x2
=x12−25x1+x1+x2
=x12−25x1+x1+x2
=1+25
=26，
故选：C．
3．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 xx+2−3=0 展开并整理为标准形式：x2+2x−3=0
其中 a=1，b=2，c=−3．
∴m=−ba=−21=−2，n=ca=−31=−3．
∴点m,n即−2,−3 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则m2−2023m−2026n2−2023n−2026=
【答案】−4048
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba,x1x2=ca．
根据根与系数的关系和方程的解得到m2−2024m−2025=0，n2−2024n−2025=0，m+n=2024,mn=−2025，代入，并再将原式化简为mn−m+n+1，即可求解．
【详解】解：∵方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，
∴m2−2024m−2025=0，n2−2024n−2025=0，m+n=2024,mn=−2025
∴m2=2024m+2025，n2=2024n+2025，
∴m2−2023m−2026n2−2023n−2026
=2024m+2025−2023m−20262024n+2025−2023n−2026
=m−1n−1
=mn−m+n+1
=−2025−2024+1=−4048，
故答案为：−4048．
5．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程x2+2x−3=0的两根，则1a+1b的值为 ．
【答案】23
【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，−3，代入计算即可．
【详解】解：x2+2x−3=0，
x−1x+3=0，
x1=1,x2=−3，
∴a、b的值为1，−3，
∴1a+1b=1−13=23，
故答案为：23．
6．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β，则2α2−3α+3β的值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba,x1x2=ca．
先根据题意得到2α2−6α−1=0，α+β=−−62=3，则将2α2−3α+3β变形为2α2−6α+3α+β，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β，
∴2α2−6α−1=0，α+β=−−62=3，
∴2α2−6α=1，
∴2α2−3α+3β=2α2−6α+3α+3β=2α2−6α+3α+β=1+3×3=10，
故答案为：10．
考点四 一元二次方程实际应用
一、解题通用步骤
1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。
2.设：设未知数，有两种设元方式——
①直接设元：问什么设什么;
②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。
3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。
4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。
5.验：双重检验——
①检验方程的根是否满足方程；
②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。6.答：写出答案，带单位。
二、中考常见题型及解题模型
1.增长率/下降率问题
核心公式
若初始量为a，平均增长率(或下降率)为x，增长(或下降)n次后的量为b，则：a(1±x)n=b
注意：增长时用“+”，下降时用“一”。
解题关键
●确定初始量a、变化次数n、最终量b;
●增长率x的取值范围是0