第01讲+一次方程（组）及其应用（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

这是一份第01讲+一次方程（组）及其应用（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测，文件包含第01讲一次方程组及其应用复习讲义6考点+37题型+4重点原卷版docx、第01讲一次方程组及其应用复习讲义6考点+37题型+4重点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共218页， 欢迎下载使用。
01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻 PAGEREF _Tc214359310 \h 2
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建 PAGEREF _Tc214359311 \h 5
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关 PAGEREF _Tc214359312 \h 7
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测 PAGEREF _Tc214359313 \h 22
05·重难突破·思维进阶 \l "_Tc214359314" 133
考点一 一元一次方程的解求参数
1.一元一次方程的定义：只含有一个 ，且未知数的 （最高次项为一次项），等号两边都是 的方程，叫做一元一次方程；
2.方程的解：使一元一次方程等号两边 的未知数的值，叫做方程的解；
3.等式的基本性质（解方程的依据）
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍 。
即如果a=b，则a±c=b±c；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍 。
即如果a=b，则a×c=b×c；
如果a=b（c≠0），则ac=bc
1．（2025·贵州·中考真题）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a= ．
3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知x=2是方程3a−2x=2的解，则a= ．
4．（2025·山东滨州·中考真题）如果☆×−59=1，则“☆”表示的数是 ．
考点二 解一元一次方程
一元一次方程的解法（核心技能）
1．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b= ．

2．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
3（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：4−−3
（2）解方程：2x−1=2+x
考点三 一元一次方程的实际应用
1. 列方程解应用题的一般步骤
：审题，找出已知量、未知量及等量关系；
：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）；
：根据等量关系列出一元一次方程；
：解所列方程，求出未知数的值；
：检验解是否符合实际意义；
：写出答案（带单位）。
2.常见的应用题型和等量关系
1．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ）
A．5B．7C．8D．9
2．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（ ）
A．17x+19x=1B．17x−19x=1C．7x+9x=1D．9x−7x=1
3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元B．320元C．270元D．220元
4．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
考点四 根据二元一次方程组的解求解
1.二元一次方程的定义：含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，等号两边都是 的方程，叫做二元一次方程。
注意：二元一次方程有无数组解，一组解是指一对未知数的值
2.二元一次方程组定义：由 的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。
标准形式：a1x+b1y=c1a2x+b2x=c2（a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0），例：x+y=3x−x=1、2x+3y=8x=1均为二元一次方程组。
3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边都 的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
注意：二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。
1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y=7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z=15的正整数解有（ ）
A．7组B．21组C．28组D．42组
2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−y=2的解为x=ay=b则a+b的值为 ．
考点五 解二元一次方程组
二元一次方程组的解法
核心思路：消元（将二元转化为一元一次方程求解），常用方法有两种。
1．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx= ．
2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy= ．
3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：x−y2=22x+3y=12
4．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：x−y=22x+3y=−1．
考点六 二元一次方程（组）实际应用
1.列方程组解应用题的一般步骤
① ：审题，找出已知量、未知量，确定两个等量关系；
② ：设两个未知数（直接设或间接设）；
③ ：根据两个等量关系列出二元一次方程组；
④ ：解方程组，求出未知数的值；
⑤ ：检验解是否符合实际意义
⑥ ：写出答案（带单位）
2.常见应用题及其等量关系
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A．2x+y−10000=12x10000−x+2y=12yB．10000−2x+y=12xx+2y−10000=12y
C．x+2y−10000=12x10000−2x+y=12yD．2x+y=12xx+2y=12y
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
3．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
4．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量糟醅量×100%）如下表：
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
命题点一 等式的基本性质
►题型01 等式的性质相关求解
【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且13a−112b=14c，则下列结论正确的是（ ）
A．若c=3b，则a=4cB．若a=b，则b=c
C．若b>0，则4ab，则c>bD．若a>c，则2(b−a)>c−a
►题型02等式的性质天平类题型
【典例】（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（ ）
A．如果2a=2b，那么a=bB．如果a=b，那么2a=2b
C．如果a+b=b+c，那么a=cD．如果a=b，那么a+b=b+c
【变式1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“△ ”“◯”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“◯”的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
►题型03 利用等式的性质判断选项是否成立
【典例】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足a2+b2+c−3ab=0，则下列结论错误的是（ ）
A．ab>cB．若c=−ab，则ab+ba=4
C．若b=0，则cb>cB．a:b:c=9:4:6
C．25a+b=c−15bD．a+b−c=152a+3b
【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足b=3−2a=c−3a，则下列式子正确的是（ ）．
A．a−c=3B．0≤a≤3C．b+2c=6D．3≤c≤4.5
命题点二 一元一次方程的解
►题型01 已知方程的解求参数的值
【典例】（2025·广西钦州·二模）若x=2是关于x的方程x+a=−1的解，则a的值是（ ）
A．−3B．0C．2D．3
【变式1】（2025·江苏无锡·二模）已知x=2是方程2x−3m=−5，那么m的值是（ ）
A．−13B．13C．−3D．3
【变式2】（2025·广东云浮·一模）若x=3是关于x的一元一次方程4x−m+1=0的解，则m的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
►题型02 解一元一次方程
【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）解方程：
(1)2x−19=7x+6
(2)2x=62x+1
【变式1】（2025·福建宁德·二模）解方程：3x−2+1=x−1．
【变式2】（2025·安徽淮南·二模）解方程：x+2x−3=0．
【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）解方程．
(1)3.2x−4×3=52
(2)x:1.2=3:4
(3)2x+3×0.9=24.7
►题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确
【典例】（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：
(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．
【变式1】（2025·河北保定·模拟预测）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算：π−20250−9+−4
（2）下面是小星同学解不等式2+x2≥2x−13的过程：
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
►题型04 一元一次方程中程序流程图问题
【典例】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−4−2=−6，n=1+3÷2=2．
(1)若输入x=−1，则m=________，n=________；
(2)若得到m=6，求输入的x值及相应n的值；
(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？
【变式1】（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数．
(1)求这已知的四个数的积；
(2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等．
①求a的值：
②求a，4，5，−1这四个数的平均数．
【变式2】（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入x值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−3+−2=−5，n=1−4÷−2=32．
(1)若输入x=2，求m，n的值；
(2)若得到m=7，求输入的x的值及相应的n的值；
(3)若得到的m的值比n值小，求x的取值范围．
【变式3】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．例：若输入x=2，则m=2×−3+−2=−8，n=2−4÷−2=1．
(1)若得到m=10，求输入的x值及相应n的值．
(2)若输入x值后得到的m始终大于n，求输入的最大整数x值是多少．
命题点三 一元一次方程的实际应用
►题型01 一元一次方程实际应用配套问题
【典例】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【变式1】（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成240件上衣或400条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？
【变式2】（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？
►题型02 一元一次方程实际应用工程问题
【典例】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．
【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数．
【变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成．
(1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？
(2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？
►题型03 一元一次方程实际应用盈亏问题
【典例】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）5月20日，“世界蜜蜂日”西北大区会场暨蜂产业助力乡村振兴主题活动在宝鸡市陇县八渡镇启幕．活动现场，西北地区优质蜂产品企业纷纷展示特色农货．已知购买A种蜂蜜1kg和B种蜂蜜2.5kg共需450元，若A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，求A，B两种蜂蜜的单价．
【变式2】（2025·北京·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．
(1)出售一份套装可获得的利润是______元；
(2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？
【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜5元，定制20个笔记本和30个纪念册共需花费750元．
(1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？
(2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共70个，但总支出不能超过1000元，求最多可以定制多少个纪念册？
►题型04 一元一次方程实际应用比赛积分问题
【典例】（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【变式1】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．
(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；
(2)参赛者F得70分，他答对了几道题？
(3)参赛者G说他得87分，你认为可能吗？请通过计算说明．
【变式2】（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？
【变式3】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分．
(1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数；
(2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数．
►题型05 一元一次方程实际应用方案选择问题
【典例】（2025·河北邯郸·三模）今年冬季，为了让学生们更好地体验冰雪快乐，某学校新开设了滑冰选修活动课，现需要购买一批滑冰鞋，已知两家商场A，B分别推出了自己的优惠方案：
A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售；
B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元．
若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示．
(1)分别写出选择购买A，B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式；
(2)当x>20时，两函数图象交于点M，请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义；
(3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算．
【变式1】（2025·陕西西安·三模）中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用；
方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元
设该茶具加工厂需要的包装盒数量为x个，按照方案一获得包装盒的总费用为y1元，按照方案二获得包装盒的总费用为y2元．
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【变式2】（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表：
(1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
(1)求甲旅行社一次最多能接待的人数；
(2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．
►题型06 一元一次方程实际应用数字问题
【典例】（2024·四川攀枝花·中考真题）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ．
【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知三阶幻方中的9个数满足每行、每列、每条对角线上的三数之和都相等，如果一个三阶幻方中填入的是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数，则这个幻方正中间的数字是 ．
【变式2】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x．
(1)请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；
(2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值．
【变式3】（2025·河北石家庄·一模）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如234，因为3=12×2+4，所以234是半和数．
(1)已知abc是半和数，若a=1，b=3，求c的值；
(2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被3整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由．
►题型07 一元一次方程实际应用动点问题
【典例】（2025·河北石家庄·一模）在如图所示的数轴上，已知AC=6,BC=2，点B表示的数为−1．
(1)写出点A,C所表示的数：
(2)将点A向右平移x个单位后，若AC=3，求x的值．
【变式1】（2023·河北邯郸·三模）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a+2+b−52=0．

(1)a=______，b=______；
(2)点A、点B开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动．求t秒后点A、点B之间的距离（用含t的代数式表示）．
【变式2】（2023·浙江杭州·三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC=1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示m和n，我发现x=m是一元二次方程x2+bx−4=0的一个根，琮琮说x=n一定不是此方程的根．
(1)写出m与n表示的数
(2)求出b的值
(3)你认为琮琮说的对吗？为什么？
►题型08 一元一次方程实际应用和差倍问题
【典例】（2023·陕西·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？
【变式1】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元，
(1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？
【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题
某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人．
(1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数；
(2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？
【变式3】（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本A种书籍的进价为25元，每本B种书籍的进价为40元，其中购进的A种书籍的数量比B种书籍数量的2倍多4本．
(1)求A、B两种书籍分别购进多少本？
(2)该书城在“世界读书日”当天售出A、B两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中B种书籍的销售额是1200元，已知每本B种书籍的售价是每本A种书籍售价的1.6倍，求每本B种书籍的售价是多少元？
►题型09 一元一次方程实际应用水费电费问题
【典例】（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
【变式1】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践
【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．
【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：
收费说明：
①每件快递按送达地分别计算运费；
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）．
【素材2】
【问题解决】
(1)求a、b的值；
(2)小美给在上海的哥哥寄出了4.8千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？
(3)小美给在江西的外婆寄特产花了59元快递费，求这份特产重量的取值范围．
【变式2】（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图．
(1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为60×1.2×0.6＝43.2（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？
(2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
(3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．
【变式3】（2025·河南信阳·二模）学科实践：
近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对A，B两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示．
问题解决：
(1)若汽车充电的总电量为xkW·h，
①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x的关系表达式为_____；
②请分别写出当020时，在B充电站需要支付的费用y2（元）与x的关系表达式．
(2)出租车司机小李和小王分别在A，B两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少．
►题型10 一元一次方程实际应用行程问题
【典例】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚13h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中a的值是_______，b的值是_______；
(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
【变式1】（2025·江苏·二模）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y1（千米），y2（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)a的值为______；甲车的速度为______千米/时；
(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段EF所表示的y与x的函数关系式．
【变式2】（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以am/s的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度ym与时间xs之间的函数图象如图所示．
(1)求a，b的值．
(2)求无人机乙在上升期间高度ym与时间xs的函数关系式（标出x的取值范围）．
(3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值．
【变式3】（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发23h后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离ykm与货车行驶时间xh之间的函数关系图象．
(1)a=________，货车装完货物后的行驶速度为________．
(2)求出租车从乙地返回甲地的速度．
(3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km？
►题型11 一元一次方程实际应用日历问题
【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么这四个数是 ．
某月有5个星期日，它们的日期之和是75，则这个月中最后一个星期日是 号．
【变式1】（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
►题型12 一元一次方程实际应用古代问题
【典例】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为80kg，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ．
【变式2】（2025·吉林长春·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有四人共车，三车空；三人共车，五人步，问人与车各几何．其大意为：现在有若干人乘车，每四人共乘一辆车，则有三辆空车；每三人共乘一辆车，则有五人无车可乘，问车和人各多少？若设有x辆车，根据题意，可列方程为 ．
命题点四 二元一次方程组的解
►题型01 二元一次方程（组）的解
【典例】（2023·浙江·中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=−1y=2D．x=2y=4
【变式1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=0C．x=0.5y=3D．x=−2y=4
【变式2】（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=0C．x=0.5y=3D．x=−1y=4
【变式3】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为x=2y=−3的二元一次方程组 ．
►题型02 已知二元一次方程（组）的解求参数
【典例】（2025·湖南岳阳·一模）已知x=1y=2是方程组x+y=3ax−2y=−1的解，则a的值为（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
【变式1】（2025·江苏盐城·一模）已知x=1y=−3是二元一次方程组ax+by=22ax−by=8的解，则a+6b的值为 ．
【变式2】（2025·广东韶关·三模）已知x=2y=1是2x−4ky+4=0的解，则k的值是 ．
【变式3】（2024·河南漯河·一模）若关于x，y的二元一次方程组ax−by=32ax+by=9的解为x=−2y=1，则a+b的值为 ．
►题型03 解二元一次方程组（计算题）
【典例】（2025·辽宁·一模）方程：x+2y=253x+4y=49．
【变式1】（2025·山西·一模）解方程组：3x−y=10①2x+y=5②．
【变式2】（2025·上海徐汇·二模）解方程组x−3y=2x2−2xy+y2−16=0．
【变式3】（2025·山西·中考真题）（1）计算：−12×6−32+(−8+4)
（2）解方程组：3x−2y=11①x+2y=1②
►题型04 构造二元一次方程组求解
【典例】（2024·江苏扬州·三模）设a1,a2,a3,⋯,a2024是从−1，0，3这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+⋯+a2024=13，a12+a22+a32+⋯+a20242=59，则a13+a23+a33+⋯+a20243=（ ）
A．154B．155C．156D．157
【变式1】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为xLi+yH2O=xLiOH+H2↑，其中x,y为常数，则x+y的值为 ．
【变式2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(x−1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，若赋值x=0．得到(−1)5=−1=f，尝试给x赋不同的值，可得b+d的值为 ．
【变式3】（2024·四川成都·一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[xCuCO3⋅yCu(OH)2]加热分解的化学方程式为：xCuCO3⋅yCu(OH)23CuO+H2O+xCO2↑，其中x，y为正整数，则y−x= ．
►题型05已知二元一次方程（组）解的情况求参数
【典例】（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组2x−y=2m−1x−2y=n的解满足x+y=−4，则4m÷2n的值为（ ）
A．8B．18C．6D．−6
【变式1】（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（2025·四川南充·三模）若关于x，y的方程组2x−y=3m−1x−2y=m+5的解满足x+y=0，则m的值为 ．
【变式3】（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组x+2y=−7+m2x+y=2m+4，若此方程组的解满足x+y≥2，则m的取值范围是 ．
►题型06 二元一次方程组中同解问题
【典例】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与y=1nx+my=−7有相同的解，则m+n的值为（ ）
A．−5B．−1C．3D．−2
【变式1】（2024·湖南长沙·一模）已知方程组2x−y=7x+y=a和方程组x−y=b3x+y=8有相同的解，求a，b的值．
【变式3】（2024·广东江门·一模）已知方程组5x−2y=3mx+5y=4与x−4y=−35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2m−7x−3n=0的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的面积．
命题点五 二元一次方程（组）的实际应用
►题型01 二元一次方程（组）实际应用之列方程
【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）
A．y=400x+3400y=300x+100B．y=400x−3400y=300x−100
C．y=400x−3400y=300x+100D．y=400x+3400y=300x−100
【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A．5x+2y=102x+2y=8B．5x+5y=102x+5y=8C．2x+5y=105x+2y=8D．5x+2y=102x+5y=8
【变式2】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A．5x+3y=172x+y=10B．5x+3y=102x+y=17
C．5x+2y=173x+y=10D．5x+2y=103x+y=17
【变式3】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（ ）
A．x+y=10009x+7y=999B．x+y=99911x+4y=1000
C．x+y=1000119x+47y=999D．x+y=1000911x+74y=999
►题型02 二元一次方程（组）实际应用之方案问题
【典例】（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶（两种垃圾桶都要买），则共有（ ）种购买方案
A．6B．5C．4D．3
【变式1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
【变式2】（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买A、B两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元．
(1)求A、B两种型号充电桩的单价；
(2)小区准备采购A、B两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案：
①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出n的值；
②当m=20时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的43，请设计费用最省的购买方案．
【变式3】（2025·河南洛阳·一模）绿动未来—树木固碳护家园
【素材呈现】
在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，10棵成年的阔叶树种（例如杨树）和10棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收2820千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳．
【问题解决】
(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？
(2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克．
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
►题型03 二元一次方程（组）实际应用之行程问题
【典例】（2025·浙江·三模）已知A，B两地间有一条300千米的高速公路，甲车以100千米/时的速度从A地匀速开往B地，乙车以m千米/时的速度从B地匀速开往A地，两车同时出发，分别到达目的地后停止．甲，乙两车相距的路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)请根据题意，直接写出a，b，m的值．
(2)求甲，乙两车相遇后s与t之间的函数关系式．
【变式1】（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点A，星港街上的点B与点A的距离AB为1200m．
(1)若甲从点B出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发x分钟后，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．当x=3.75和x=7.5时，都有y1=y2．
①则甲的速度是__________mmin，乙的速度是__________mmin；
②求y1与x的函数关系式；
(2)若甲从点B先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点A时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点A的距离相等?
【变式2】（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务：
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务．
(1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场．
(2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？
【变式3】（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？
(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
►题型04 二元一次方程（组）实际应用之工程问题
【典例】（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？
【变式2】（2024·重庆·二模）列方程（组）解应用题：
为支持农业现代化建设，甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的32．
(1)若甲公司生产40天，乙公司生产30天，则恰好完成生产任务．问乙公司每天生产多少台微耕机？
(2)由于时间紧任务重，甲、乙两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了50%，甲、乙两公司各完成总生产任务的一半，甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．问乙公司现在每天生产多少台微耕机？
【变式3】（2024·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米．
(1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米．
根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组：
宁宁：x+y=2515x+10y=300，解得x=10y=15．
夏夏：x+y=300x15+y10=25，解得x=150y=150．
宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______；
夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______．
(2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？
►题型05 二元一次方程（组）实际应用之数字问题
【典例】（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
【变式1】（2025·广东广州·一模）如下表，在3×3的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x,y的值是（ ）
A．x=11y=9B．x=9y=11C．x=9y=10D．x=10y=9
【变式2】（2025·甘肃庆阳·三模）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则a+b的值为 ．
►题型06 二元一次方程（组）实际应用之分配问题
【典例】（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【变式1】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位．
(1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．
(2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【变式2】（2025·河南商丘·二模）洛阳牡丹文化节前身为洛阳牡丹花会，已入选国家非物质文化遗产名录．某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A、B两种品种的牡丹，已知购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元．
(1)A、B两种牡丹每棵分别为多少元？
(2)该景区计划购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元，共有多少种购买方案？
(3)购买时发现，A种牡丹单价上涨了a元，B种牡丹单价不变，在（2）的条件下，最低费用需6625元，请直接写出a的值．
【变式3】（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？
►题型07 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题
【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【变式1】（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元．
(1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价；
(2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？
【变式2】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话：
(1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元；
(2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的13，至多购买A款木偶工艺品多少件？
【变式3】（2024·云南·三模）云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下
已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元．
(1)求a，b的值；
(2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的35，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？
►题型08 二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题
【典例】（2023·湖北恩施·中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的23，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【变式1】（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克．
(1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？
(2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用．
【变式2】（2025·河南周口·二模）某餐厅提供苹果汁和橙汁两种饮品，每杯均为250ml，营养成分如下：
(1)若需要从这两种饮品中摄入600千卡的热量和240mg的维生素C，应选用苹果汁和橙汁各多少杯？
(2)若每份饮品选用这两种果汁共9杯，同时使总热量不低于580千卡，且维生素C含量最高，应如何选择？
►题型09 二元一次方程（组）实际应用之几何问题
【典例】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（ ）

A．AM B．MD C．ME D．EF
【变式1】（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长40cm．则小地砖短边长（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【变式2】（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为a+b的大正方形内有两个边长分别为a，b的小正方形a>b，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为a，b的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则ab= ．
【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?
►题型10 二元一次方程（组）实际应用之古代问题
【典例】（2025·宁夏·中考真题）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（ ）
A．5x−45=y7x−3=yB．5x+45=y7x−3=y
C．5x+45=y7x+3=yD．5x−45=y7x+3=y
【变式1】（2025·青海·中考真题）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为x人，银两为y两．根据题意可列方程组为（ ）
A．y=7x−4y=9x+8B．y=7x−4y=9x−8
C．y=7x+4y=9x+8D．y=7x+4y=9x−8
【变式2】（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A．x+y=100300x+5007y=10000B．x+y=100300y+5007x=10000
C．x+y=100300x+500y=10000D．x+y=100300y+500x=10000
【变式3】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为2x+y=113x+2y=7，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解．
命题点六 三元一次方程组及其应用
►题型01 三元一次方程组的定义及其解
【典例】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y=7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z=15的正整数解有（ ）
A．7组B．21组C．28组D．42组
【变式1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【变式2】（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且x+2y−z=4x−y+2z=1，则代数式x2−3y2+z2的最大值与最小值的差是 ．
►题型02 三元一次方程组的实际应用
【典例】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种B．15种C．16种D．14种
【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间住满，那么租房方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式2】（2025·江苏南京·一模）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元．
突破一 一元一次方程中新定义题型
【典例】（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x−7=1的解为x=4，不等式组x−56的解集为2