第05讲 一次方程（组）（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

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考点一
一元一次方程及其应用
1.方程
定义：含有未知数的等式叫做方程。
2.方程的解
定义：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4.一元一次方程
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=0(x为未知数，a≠0)叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
标准形式：ax+b=0(x为未知数，a≠0)
一元一次方程解法的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1.
【题型1 等式的性质及一元一次方程的概念】
【例1】（2024·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若ac=bc，则a=b
C．若a2=b2，则a=bD．若−13x=6，则x=−2
【答案】A
【分析】根据等式的性质，一次判断各个选项，即可进行解答．
【详解】解：A、若ac=bc，则a=b，故A正确，符合题意；
B、若ac=bc，且c≠0，则a=b，故B不正确，不符合题意；
C、若a2=b2，则a=b，故C不正确，不符合题意；
D、若−13x=6，则x=−18，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是掌握：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立．
【变式1-1】（2024·四川南充·中考真题）关于x的一元一次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【详解】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
【变式1-2】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A．x=yB．x=2yC．x=4yD．x=5y
【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式x+y=y+2a，x+a=x+2y，然后化简代入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得x+y=y+2a，即x=2a，
由乙图可得x+a=x+2y，即a=2y，
∴x=4y，
故选C．
【变式1-3】（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则1a+1b＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.
其中正确的是 ．(把所有正确结论的序号都选上)
【答案】①③④
【详解】解：在a+b=ab的两边同时除以ab（ab=c≠0）即可得1a+1b=1，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c，可得b=32，c=92，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c代入得2c=c2=c，所以可得c=0，故③正确；当a=b时，由a+b=ab可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c时，由c=a+b可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a、b、c中只有两个数相等相矛盾，故a=c这种情况不存在；当b=c时，情况同a=c，故b=c这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．
【题型2 一元一次方程的解法】
【例2】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程−的过程如下框：
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
【答案】最早出现错误的步骤是①，正确的解法见解析．
【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得12x−13x=1，再合并同类项16x=1，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键．
【详解】解：最早出现错误的步骤是①，正确的解法如下：
对于方程−，
将系数化为整数，得12x−13x=1，
合并同类项，得16x=1，
系数化1，得x=6．
【变式2-1】（2024·江苏徐州·中考真题）解方程3y−14−1=5y−76．
【答案】−1．
【分析】本题考查解一元一次方程．去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可．掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：去分母得：9y−3−12=10y−14，
移项合并得：−y=1，
解得：y=−1．
【变式2-2】（2024·山东济南·中考真题）代数式2x−13与代数式3−2x的和为4，则x= ．
【答案】﹣1.
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】根据题意得：2x−13+3−2x=4，
去分母得：2x−1+9−6x=12，
移项合并得：−4x=4，
解得：x=−1，
故答案为﹣1.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-3】（2024·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．
【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵对角线上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一条对角线上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．
【题型3 由一元一次方程的解求值】
【例3】（2024·湖北·中考真题）对于实数m,n，定义运算m∗n=(m+2)2−2n．若2∗a=4∗(−3)，则a= ．
【答案】−13
【分析】根据给出的新定义分别求出2∗a与4∗(−3)的值，根据2∗a=4∗(−3)得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵m∗n=(m+2)2−2n，
∴2∗a=2+22−2a=16−2a，4∗−3=4+22−2×−3=42，
∵2∗a=4∗(−3)，
∴16−2a=42，解得a=−13，
故答案为：−13．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
【变式3-1】（2024·重庆·中考真题）若关于x的方程4−x2+a=4的解是x=2，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【详解】解：根据题意，知
4−22+a=4，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【变式3-2】（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，求这两个方程的解．
【答案】方程4x+2m=3x+1的解为x=154，方程3x+2m=6x+1的解为x=−54
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程4x+2m=3x+1，用m表示x，然后由第二个方程，再用m表示x，此时两个x的值相差5，可得方程求出m的值，进而即可求得方程的解．
【详解】解：由题意得：4x+2m=3x+1，
解得：x=−2m+1．
由3x+2m=6x+1，
解得：x=13(2m−1)，
∵关于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，
∴(−2m+1)−13(2m−1)=5，
解得m=−118，
∴−2m+1=154，
13(2m−1)=−54，
∴这两个方程的解为154和−54．
【变式3-3】（2024·云南曲靖·一模）若不论k取什么实数，关于x的方程2kx+a3−x−bk6=1（a、b是常数）的根总是x＝1，则a+b＝（ ）
A．12B．32C．−12D．−32
【答案】C
【分析】把x=1代入2kx+a3−x−bk6=1得到(b+4)k=7−2a，根据方程的根总是x=1，推出b+4=07−2a=0，解出a、b的值，计算a+b即可得出答案．
【详解】把x=1代入得：2k+a3−1−bk6=1，
去分母得：4k+2a−1+kb−6=0，
即(b+4)k=7−2a，
∵不论k取什么实数，关于x的方程2k+a3−1−bk6=1的根总是x＝1，
∴b+4=07−2a=0 ，
解得：a=72，b=−4，
∴a+b=72−4=−12．
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程与一元一次方程的应用，根据题意得出关于a、b的方程是解题的关键．
【题型4 一元一次方程与一次函数】
【例4】（2024·山西大同·一模）“人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每袋30元，由经销商免费送货；
方案B：每袋26元，客户需支付运费200元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买该杂粮的应付款y（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式；
（2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？
【答案】（1）yA=30x，yB=26x+200；（2）当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．
【分析】（1）直接根据各自方案写出函数表达式即可；
（2）分别由yA=yB、yA>yB、yAyB，得30x＞26x＋200，解得x＞50
由yA1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
【答案】(1)534
(2)y=3.63x−768(x>1200)
(3)26立方米
【分析】（1）根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；
（2）根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；
（3）根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．
【详解】（1）∵200m3＜400m3，
∴该年此户需缴纳燃气费用为：2.67×200=534（元），
故答案为：534；
（2）y关于x的表达式为y=400×2.67+1200−400×3.15+3.63x−1200 =3.63x−768(x>1200)
（3）∵400×2.67+1200−400×3.15=35883855，
且2.67×100+400=133522，
∴a−3>22，
∴a>3+22，
∵4