2026届高三数学二轮复习课件：专题突破　专题五　第四讲　范围与最值问题（含解析）

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(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3.(ⅰ)设P(m，n)，求R的坐标(用m，n表示)；
(ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.
命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，主要以解答题的形式进行考查.分值约为13~17分.
考查方向：考查重点是最值与范围问题，主要考查长度、周长、面积、角度、斜率、向量等相关的最值(范围)问题.
(2)O为坐标原点，A，B为曲线E上不同两点，经过A，B两点的直线与圆x2+y2=1相切，求△OAB面积的最大值.
圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有(1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最值时，一般会用到配方法、基本不等式或者函数的单调性.(2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值.(3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明.
(2)A，B是C上两点(A，B异于点O)，以AB为直径的圆过点O，Q为AB的中点，求直线OQ斜率的最大值.
　(2025·海口模拟)设A，B两点的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3.(1)求点M的轨迹方程C；
圆锥曲线中的范围问题的思路就是选用一个合适的变量(这个变量能够表达要解决的问题)建立目标函数或不等关系，然后求解.求解范围问题一定要牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是圆锥曲线的有界性、题目条件中某个量的范围等.
(1)由题意，动圆过定点P(2，0)，当圆心不在y轴上时，设圆心T(x，y)(x≠0)，弦的中点为R(0，y)，连接RT(图略)，则由圆的性质得|PT|2=|RT|2+22，∴(x-2)2+y2=x2+4，整理得y2=4x(x≠0).当圆心在y轴上时，易得圆心坐标为(0，0)，也满足上式，∴曲线E的方程为y2=4x.
故∠BMF=∠CMF，故直线BM与直线CM关于x轴对称，即点B与点C关于x轴对称，∴线段BC垂直于x轴.
②设M为C上异于A，B的动点，求△MAB面积的最大值.
2.(2025·河南H20联盟联考)已知动圆过定点P(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4.动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；
(2)设过点F(1，0)的直线交曲线E于A，B两点，过点M(-1，0)的直线MA与E的另一个交点为C，点A在M与C之间.①证明：线段BC垂直于x轴；
②记△FBC的面积为S1，△MFC的面积为S2，求5S2-S1的取值范围.
(2)与x轴不重合的直线l'过点N(x0，0)(x0≠0)，双曲线E上存在两点A，B关于l'对称，且AB的中点M的横坐标为x'0.①若x0=λx'0，求实数λ的值；
②若A，B为双曲线E右支上两个不同的点，l'过点C(0，4)，求∠ACB的取值范围.