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2022届高三数学二轮复习课件：专题六 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
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这是一份2022届高三数学二轮复习课件：专题六 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识•精要梳理，关键能力•学案突破，答案B，答案A，对点练1，答案D，对点练2，答案C，对点练3等内容，欢迎下载使用。
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.
若点F在直线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
误区警示利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,0<2a<|F1F2|.如果满足第二而不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.圆锥曲线的标准方程
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
名师点析注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.
3.圆锥曲线的几何性质
方程中勿忘“±”及“x”
(2)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
注意离心率e与渐近线的斜率的关系
名师点析已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,可直接应用上述②中的公式,此时易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.
4.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法:通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
名师点析直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.
解析 ∵抛物线C:x2=8y,∴F(2,0),准线y=-2.由|PF|=6,根据抛物线定义,得P到准线的距离为6.
[例1-2](2021·重庆二模)在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为( )
解析 如图,设切线PM,PN上的切点分别为B,D,则|PB|=|PD|,|MB|=|MA|,|NA|=|ND|,|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,所以P点轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点),2a=8,a=4,c=5,则
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,所以四边形AF1BF为平行四边形.
解题心得求圆锥曲线的标准方程时“先定型,后计算”(1)“定型”:就是指确定圆锥曲线的类型,即确定圆锥曲线焦点所在的位置.(2)“计算”:就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入相应的标准方程写出结果.注意:当焦点位置无法确定时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆方程常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),双曲线方程常设为mx2-ny2=1(mn>0).
(2)(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
由题意可知直线l的斜率存在且不为零,因为l⊥F2B,则△F1BF2为直角三角形,可得|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2=12,由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2,
所以4=(|BF1|-|BF2|)2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|=12-2|BF1|·|BF2|,
(3)因为点A与点F2关于直线l对称,所以直线l为AF2的垂直平分线.所以|AF1|=|F1F2|=4,由椭圆定义可得|AF2|=2a-4.
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
解析 因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),所以抛物线的准线方程为x=-2,从而抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0).
因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),
解题心得1.研究圆锥曲线的性质时,一是要结合圆锥曲线的定义;二是要与三角形中的定理,如勾股定理、角平分线定理等相结合.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求 的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.
答案 (1)ACD (2)4
命题角度2 求圆锥曲线的离心率
解析 设|AF1|=r1,|AF2|=r2,在△AF1F2中,由|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cs 60°,
规律方法求椭圆(或双曲线)离心率(或其取值范围)的常用方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.(4)根据椭圆或双曲线的几何性质构建关于e的等式或不等式,求出离心率或离心率的范围.
答案 (1)C (2)BD
A.3x-2y-2=0B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0D.3x-4y-1=0
解析 设AB的中点为M,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
设直线AB的倾斜角为θ,又|AF2|=|BF2|,所以AB⊥MF2,可得|OM|=|OF1|=|OF2|,
规律方法解决中点弦问题的两种方法(1)韦达定理法:联立直线与曲线的方程,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:设出交点坐标,利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标代入曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率关系求解.
探究提高圆锥曲线的中点弦斜率公式结论
(1)(2021·云南师大附中月考)已知直线l与抛物线C:x2=8y相交于A,B两点,若线段AB的中点为(1,2),则直线l的方程为( )A.4x-y+7=0B.4x+y-3=0C.x-4y+7=0D.x+4y-3=0
答案 (1)C (2) A
命题角度2 弦长问题[例3-3](2021·河北唐山高三二模)设抛物线E:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-1)与E交于A,B,与y轴交于点C,若|AF|=|BC|,则|AB|= .
[例3-4]( 2021·海南海口模拟)已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于P,Q两点,当|PQ|最小时,四边形F1PF2Q的面积为 .
规律方法求圆锥曲线弦长的常用方法
(1)(2021·河北秦皇岛高三二模)已知双曲线C:x2- =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,已知∠F1AF2=90°,且△ABF1内切圆半径为1,则|AB|= .
(2)(2021·云南昆明一中月考)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|AB|= .
答案 (1)3 (2)9
由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=m+2,|BF2|=|BF1|-2a=n-2,|AB|=|AF2|-|BF2|=m-n+4,由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半,
整理得x2-5x+4=0,可得x1+x2=5.由抛物线的定义,可得|AB|=x1+x2+p=5+4=9.
(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),经过左焦点F1的直线l与椭圆C1交于M,N两点,且满足 的点P也在椭圆C1上,求四边形F2MPN的面积.
(2)设直线l的方程为x=ty-1,代入x2+2y2=2,并整理得(t2+2)y2-2ty-1=0,Δ=4t2+4(t2+2)>0恒成立,设M(ty1-1,y1),N(ty2-1,y2),
解题心得解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤(1)由题意设出直线或曲线方程,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2).(2)联立直线与曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程.(3)写出根与系数的关系式.(4)将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式,并代入根与系数的关系式求解.
(2)当直线l的斜率为零或不存在时,显然不满足题意.设直线l的方程为x=my+1.
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.
若点F在直线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
误区警示利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,0<2a<|F1F2|.如果满足第二而不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.圆锥曲线的标准方程
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
名师点析注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.
3.圆锥曲线的几何性质
方程中勿忘“±”及“x”
(2)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
注意离心率e与渐近线的斜率的关系
名师点析已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,可直接应用上述②中的公式,此时易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.
4.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法:通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
名师点析直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.
解析 ∵抛物线C:x2=8y,∴F(2,0),准线y=-2.由|PF|=6,根据抛物线定义,得P到准线的距离为6.
[例1-2](2021·重庆二模)在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为( )
解析 如图,设切线PM,PN上的切点分别为B,D,则|PB|=|PD|,|MB|=|MA|,|NA|=|ND|,|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,所以P点轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点),2a=8,a=4,c=5,则
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,所以四边形AF1BF为平行四边形.
解题心得求圆锥曲线的标准方程时“先定型,后计算”(1)“定型”:就是指确定圆锥曲线的类型,即确定圆锥曲线焦点所在的位置.(2)“计算”:就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入相应的标准方程写出结果.注意:当焦点位置无法确定时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆方程常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),双曲线方程常设为mx2-ny2=1(mn>0).
(2)(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
由题意可知直线l的斜率存在且不为零,因为l⊥F2B,则△F1BF2为直角三角形,可得|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2=12,由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2,
所以4=(|BF1|-|BF2|)2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|=12-2|BF1|·|BF2|,
(3)因为点A与点F2关于直线l对称,所以直线l为AF2的垂直平分线.所以|AF1|=|F1F2|=4,由椭圆定义可得|AF2|=2a-4.
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
解析 因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),所以抛物线的准线方程为x=-2,从而抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0).
因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),
解题心得1.研究圆锥曲线的性质时,一是要结合圆锥曲线的定义;二是要与三角形中的定理,如勾股定理、角平分线定理等相结合.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求 的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.
答案 (1)ACD (2)4
命题角度2 求圆锥曲线的离心率
解析 设|AF1|=r1,|AF2|=r2,在△AF1F2中,由|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cs 60°,
规律方法求椭圆(或双曲线)离心率(或其取值范围)的常用方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.(4)根据椭圆或双曲线的几何性质构建关于e的等式或不等式,求出离心率或离心率的范围.
答案 (1)C (2)BD
A.3x-2y-2=0B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0D.3x-4y-1=0
解析 设AB的中点为M,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
设直线AB的倾斜角为θ,又|AF2|=|BF2|,所以AB⊥MF2,可得|OM|=|OF1|=|OF2|,
规律方法解决中点弦问题的两种方法(1)韦达定理法:联立直线与曲线的方程,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:设出交点坐标,利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标代入曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率关系求解.
探究提高圆锥曲线的中点弦斜率公式结论
(1)(2021·云南师大附中月考)已知直线l与抛物线C:x2=8y相交于A,B两点,若线段AB的中点为(1,2),则直线l的方程为( )A.4x-y+7=0B.4x+y-3=0C.x-4y+7=0D.x+4y-3=0
答案 (1)C (2) A
命题角度2 弦长问题[例3-3](2021·河北唐山高三二模)设抛物线E:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-1)与E交于A,B,与y轴交于点C,若|AF|=|BC|,则|AB|= .
[例3-4]( 2021·海南海口模拟)已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于P,Q两点,当|PQ|最小时,四边形F1PF2Q的面积为 .
规律方法求圆锥曲线弦长的常用方法
(1)(2021·河北秦皇岛高三二模)已知双曲线C:x2- =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,已知∠F1AF2=90°,且△ABF1内切圆半径为1,则|AB|= .
(2)(2021·云南昆明一中月考)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|AB|= .
答案 (1)3 (2)9
由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=m+2,|BF2|=|BF1|-2a=n-2,|AB|=|AF2|-|BF2|=m-n+4,由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半,
整理得x2-5x+4=0,可得x1+x2=5.由抛物线的定义,可得|AB|=x1+x2+p=5+4=9.
(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),经过左焦点F1的直线l与椭圆C1交于M,N两点,且满足 的点P也在椭圆C1上,求四边形F2MPN的面积.
(2)设直线l的方程为x=ty-1,代入x2+2y2=2,并整理得(t2+2)y2-2ty-1=0,Δ=4t2+4(t2+2)>0恒成立,设M(ty1-1,y1),N(ty2-1,y2),
解题心得解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤(1)由题意设出直线或曲线方程,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2).(2)联立直线与曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程.(3)写出根与系数的关系式.(4)将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式,并代入根与系数的关系式求解.
(2)当直线l的斜率为零或不存在时,显然不满足题意.设直线l的方程为x=my+1.
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