2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（Word版解析版），共15页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
1.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，准线方程为x＝－1.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且AP＝17PB，求直线l的斜率.
解：(1)因为准线方程为x＝－1，所以－p2＝－1，即p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由AP＝17PB可得7(2－x1，1－y1)＝(x2－2，y2－1)，
从而有7y1＋y2＝8，即y2＝8－7y1，化简得y2－1y1－1＝－7，
因为直线l过点P(2，1)，所以设直线l的方程为x－2＝m(y－1)，
将其与抛物线C的方程联立得y2－4my＋4m－8＝0，
故y1＋y2＝4m，y1·y2＝4m－8.
而y2－1y1－1＋y1－1y2－1＝(y1－1)2＋(y2－1)2(y1－1)(y2－1)＝(y1＋y2－2)2y1y2－(y1＋y2)+1－2＝－16m2－16m+187＝－7－17，即m2－m－2＝0，解得m＝2或－1，
所以直线l的斜率为12或－1.
2.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，其左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，且四边形A1B1A2B2的面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点Q(4，0)的直线与椭圆E交于M，N两点，直线A1M与A2N交于点P，求证：点P在定直线上.
解：(1)由四边形A1B1A2B2的面积为4得ab＝2 ①，
因为椭圆E的离心率为32，所以ca＝32 ②.
又因为a2＝b2＋c2 ③，
联立①②③，解得a＝2，b＝1，c＝3，
因此，椭圆E的标准方程为x24＋y2＝1.
(2)证明：设直线MN的方程为x＝ty＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立x24＋y2=1，x＝ty+4，
消去x得(t2＋4)y2＋8ty＋12＝0，Δ＝64t2－48(t2＋4)＞0，
由韦达定理得y1＋y2＝－8tt2+4，y1y2＝12t2+4，
进而ty1y2＝－32(y1＋y2)，kA1M＝y1x1+2，kA2N＝y2x2－2，
则A1M：y＝y1x1+2(x＋2)，A2N：y＝y2x2－2(x－2)，
则x+2x－2＝y2x2－2·x1+2y1＝y2(ty1+6)y1(ty2+2)＝ty1y2+6y2ty1y2+2y1＝－32(y1＋y2)+6y2－32(y1＋y2)+2y1＝－32y1＋92y212y1－32y2＝－3，
整理得x＝1，
因此，点P在定直线x＝1上.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知离心率为12的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为23.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线AM与定直线x＝t(t＞2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.
解：(1)设椭圆C的半焦距为c，
依题意ca＝12 ①，
又△ABM的面积最大值为23，
所以12·2a·b＝23，即ab＝23 ②，
又a2－b2＝c2 ③，
联立①②③，得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程组x＝my+1，x24＋y23=1，整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
所以y1＋y2＝－6m3m2+4，y1y2＝－93m2+4，
故my1y2＝32(y1＋y2).
易得直线AM：y＝y1x1+2(x＋2)与直线x＝t相交于T(t，(t+2)y1x1+2)，
因为k1，k0，k2成等差数列，所以2k0＝k1＋k2，
即2·(t+2)y1x1+2t－1＝y1x1+2＋y2x2－2，
所以2(t+2)t－1－1＝y2(x1+2)y1(x2－2)＝y2(my1+3)y1(my2－1)＝my1y2+3y2my1y2－y1＝32(y1＋y2)+3y232(y1＋y2)－y1＝32y1＋92y212y1＋32y2＝3，解得t＝4，
所以实数t的值为4.
4.设椭圆C：x29＋y28＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1＋2k2＝0，求直线F1M的方程.
解：设M(x1，y1)，直线F1M方程x＝my－1交C于M1(x2，y2)，
由x29＋y28=1，x＝my－1得(8m2＋9)y2－16my－64＝0，
则y1＋y2＝16m8m2+9，y1y2＝－648m2+9.
则my1y2＝－4(y1＋y2)，
又k1＝y1x1+3，k2＝y2x2+3，
所以3k1＋2k2＝3y1x1+3＋2y2x2+3＝3y1(x2+3)+2y2(x1+3)(x1+3)(x2+3)＝0，
则3y1(x2＋3)＋2y2(x1＋3)＝0，
即3y1(my2＋2)＋2y2(my1＋2)＝0，
可得5×(－4)(y1＋y2)＋6y1＋4y2＝0，
则－14y1－16y2＝0，
即y1＝－87y2.
因为y1＋y2＝16m8m2+9，所以－17y2＝16m8m2+9，
即y2＝－112m8m2+9，y1＝128m8m2+9＞0，
所以m＞0.
由y1y2＝－648m2+9＝－112m8m2+9·128m8m2+9，得216m2＝9，
解得m＝612或m＝－612(舍)，
所以直线F1M的方程为12x－6y＋12＝0.