2026年云南省中考数学专题练习二十六二次函数综合题专题练习

这是一份2026年云南省中考数学专题练习二十六二次函数综合题专题练习，共40页。试卷主要包含了+1，记T=a24+4a2+1等内容，欢迎下载使用。
（1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值；
（2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小．
2．（8分）（2025•五华区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若抛物线图象经过点（1，4），t是抛物线y＝ax2﹣4ax+1与x轴交点的横坐标，记T=t5−72610，比较T与52的大小．
3．（8分）（2025•玉溪二模）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜12时，y随x的增大而减小，当x＞12时，y随x的增大而增大，设n是抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交点的横坐标，记N=n9+n7+2n6−10n5+n3+nn5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）比较N与3的大小．
4．（8分）（2025•文山州二模）已知抛物线y＝ax2+2x的对称轴为直线x＝1，设抛物线y＝ax2+2x与函数y=−2x图象的交点的横坐标为d．设m=d9−2d8+d6−8d5+4d4−8d2d7−4d6+4d5，n=1d．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以下结论：m＞n，m＝n，m＜n，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．
5．（8分）（2025•麒麟区三模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，7），A（m，n），B（k，r）是该抛物线上两个不同的点，设M＝n+r．
（1）求b，c的值；
（2）若m+k＝﹣2，求M的取值范围．
6．（8分）（2025•云南校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）．
（1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式a2+1a2的值．
7．（8分）（2025•西山区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（1，a）时，求a的值；
（2）若点M(3a，a−3)，N(3a+m，a−3)在此抛物线上，求a3﹣5a2﹣5a+9m+2025的值．
8．（8分）（2025•楚雄市二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．
（1）若函数图象过点（﹣1，0），求a的值．
（2）当2≤x≤6时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝11，求a的值．
9．（8分）（2025•西山区校级模拟）已知二次函数y=12ax2−ax+2（a为常数，a≠0）．
（1）当x＝2时，求该二次函数的值；
（2）若二次函数y=12ax2−ax+2与直线y＝﹣x+1有唯一交点，设T=a3a8+a5−209a4−58a3+a，求T的值．
10.（8分）（2024•红塔区二模）已知观察二次函数y＝x2+bx+c的图象后，发现当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＝1时，y的值为﹣4．点A（r，y1）、B（r﹣s，y2）（s≠0）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上任意两点，设M=−4r4+4r3s−r2s2−8r+20244r2−s2−8r+5．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当y1＝y2时，求M的最大值．
11．（8分）（2025•五华区一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），并且经过点（2，11）．
（1）求抛物线表示的二次函数的解析式；
（2）已知点A（m，n）在抛物线上，K=n2−4n+5m+1(m≠−1)，且m与K均为整数，求点A的坐标．
12．（8分）（2025•盘龙区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣2mx2﹣6mx+3（m≠0）．
（1）试说明点P（﹣3，3）在该抛物线上；
（2）已知A（2m+1，a）、B（t，b）是抛物线上的任意两点，若对于2≤t≤4，都有a﹣b＜0，求m的取值范围．
参考答案
1．（8分）（2025•云南）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T=a24+4a2+1．
（1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值；
（2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小．
解：（1）把x＝﹣4，a＝1代入函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，
得y＝（﹣4+4）（﹣4﹣12+1﹣3）+1＝1，
∴y的值为1；
（2）将x＝3a+2，y＝1代入函数，
得（3a+2+4）（3a+2﹣a2+a﹣3）+1＝1，
整理得：﹣3（a+2）（a2﹣4a+1）＝0，
①当a+2＝0时，即a＝﹣2，
∴T=(−2)24+4(−2)2+1=95＜3，
②当a2﹣4a+1＝0时，a≠0，
则有a2＝4a﹣1，
∵a2+1＝4a，
∴a+1a=4，
∴T=4a−14+44a
=a−14+1a
=4−14
=154＞3，
综上可知：当a＝﹣2时，T＜3；当a2﹣4a+1＝0时，T＞3．
2．（8分）（2025•五华区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若抛物线图象经过点（1，4），t是抛物线y＝ax2﹣4ax+1与x轴交点的横坐标，记T=t5−72610，比较T与52的大小．
解：（1）抛物线为y＝ax2﹣4ax+1，
则抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−4a2a=2，
即抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）（1，4）代入函数表达式得：4＝a﹣4a+1，
解得a＝﹣1，
故抛物线解析式y＝﹣x2+4x+1，
令y＝0，得﹣x2+4x+1＝0，
解得x=2±5，
∵t是抛物线y＝﹣x2+4x+1与x轴交点的横坐标，
∴0＝﹣t2+4t+1，
∴t2＝4t+1，
∴t5＝（t2）2•t
＝（4t+1）2•t
＝（16t2+8t+1）•t
＝[16（4t+1）+8t+1]•t
＝（64t+16+8t+1）•t
＝（72t+17）•t
＝72t2+17t
＝72（4t+1）+17t
＝288t+72+17t
＝305t+72，
∴T=t5−72610=305t+72−72610=t2，
故T=2±52，
当T=2+52时，T−52=2+52−52=1＞0，此时T＞52．
当T=2−52时，T−52=2−52−52=1−5＜0，此时T＜52．
3．（8分）（2025•玉溪二模）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜12时，y随x的增大而减小，当x＞12时，y随x的增大而增大，设n是抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交点的横坐标，记N=n9+n7+2n6−10n5+n3+nn5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）比较N与3的大小．
解：（1）由题意得：对称轴为：x=12，即：−b2×2=12，得：b＝﹣2．
∵抛物线经过点（0，﹣2），
∴c＝﹣2．
∴y＝2x2﹣2x﹣2．
（2）∵抛物线与坐标轴交于点（n，0），
∴2n2﹣2n﹣2＝0，即n2﹣n﹣1＝0，
解得：n=1±52．
N=n9+n7+2n6−10n5+n3+nn5=n8+n6+2n5−10n4+n2+1n4
=n4+n2+2n−10+1n2+1n4
∵n2﹣n﹣1＝0，
∴n−1n=1，
∴(n−1n)2=1，即n2+1n2=3，
∴(n2+1n2)2=9，即n4+1n4=7，
∴N=n4+n2+2n−10+1n2+1n4=7+3+2n−10=2n．
当n=1+52时，N=1+5，
∴N−3=1+5−3=5−2＞0，即N＞3；
当n=1−52时，N=1−5＜0，
∴N＜3；
∴当n=1+52时，N＞3；当n=1−52时，N＜3．
4．（8分）（2025•文山州二模）已知抛物线y＝ax2+2x的对称轴为直线x＝1，设抛物线y＝ax2+2x与函数y=−2x图象的交点的横坐标为d．设m=d9−2d8+d6−8d5+4d4−8d2d7−4d6+4d5，n=1d．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以下结论：m＞n，m＝n，m＜n，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x的对称轴为直线x＝1，
∴−22a=1，
则：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x；
（2）我认为m＞n正确，
证明如下：
由y=−x2+2xy=−2x，
可得：−x2+2x=−2x则：x3﹣2x2﹣2＝0，
∵两个函数交点的横坐标为d，
∴d3﹣2d2﹣2＝0，即：d3﹣2d2＝2，
m=d9−2d8+d6−8d5+4d4−8d2d7−4d6+4d5
=d7−2d6+d4−8d3+4d2−8d5−4d4+4d3
=d4(d3−2d2)+d4−8d3+4d2−8d2(d3−4d2)−2d(d3−2d2)
=3d4−8d3+4d2−82d2−4d
=3d(d3−2d2)−2(d3−2d2)−82d(d−2)
=6(d−2)2d(d−2)
=3d，
“d3﹣2d2＝2，
∴d2（d﹣2）＝2，而d≠0，则d2＞0，
∴d﹣2＞0，
∴d＞2，
∴m−n=3d−1d=2d＞0，
∴m＞n．
5．（8分）（2025•麒麟区三模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，7），A（m，n），B（k，r）是该抛物线上两个不同的点，设M＝n+r．
（1）求b，c的值；
（2）若m+k＝﹣2，求M的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为 （﹣2，7），y＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3，
∴b＝﹣4，c＝3；
（2）∵m+k＝﹣2，
∴m＝﹣2﹣k，
∵n＝﹣m2﹣4m+3，r＝﹣k2﹣4k+3，
∴n+r＝﹣m2﹣4m+3﹣k2﹣4k+3
＝﹣（m2+k2）﹣4（m+k）+6
＝﹣（m2+k2）﹣4×（﹣2）+6
＝﹣（m2+k2）+14
＝﹣m2﹣k2+14
＝﹣（﹣2﹣k）2﹣k2+14
＝﹣2k2﹣4k+10
＝﹣2（k+1）2+12，
∵m≠k≠﹣1，
∴﹣2（k+1）2＜0，
∴﹣2（k+1）2+12＜12，
即n+r＜12，
∴M＜12．
6．（8分）（2025•云南校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）．
（1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式a2+1a2的值．
解：（1）当a＝﹣1时，则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函数图象与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0）．
（2）由题意，∵二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，
∴ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1＝﹣2a+3有两个相等实根，
∴ax2﹣（a﹣1）x﹣2＝0，
∴Δ＝（a﹣1）2+8a＝0，
即a2+6a+1＝0，
∵a为常数，且a＜0，
∴两边同时除以a，得：1a+a+6＝0
即a+1a=−6，
∴a2+1a2=（a+1a）2﹣2＝36﹣2＝34．
7．（8分）（2025•西山区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（1，a）时，求a的值；
（2）若点M(3a，a−3)，N(3a+m，a−3)在此抛物线上，求a3﹣5a2﹣5a+9m+2025的值．
解：（1）∵抛物线经过点（1，a），
∴a﹣2（a+3）+10＝a，
解得a＝2；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0），
∴对称轴为直线x=−−2(a+3)2a=a+3a，
∵点M(3a，a−3)，N(3a+m，a−3)在此抛物线上，
∴点M(3a，a−3)，N(3a+m，a−3)关于对称轴对称，
∴3a+3a+m2=a+3a，
解得m＝2，
把M(3a，a−3)代入y＝ax2﹣2（a+3）x+10，
得a⋅9a−2（a+3）⋅3a+10＝a﹣3，
∵a≠0，
去分母得9﹣6a﹣8+10a＝a2﹣3a，
整理得a2﹣7a+9＝0，
∴a3＝7a2﹣9a，a2﹣7a＝﹣9，
∴a3﹣5a2﹣5a+9m+2025
＝a3﹣5a2﹣5a+18+2025
＝7a2﹣9a﹣5a2﹣5a+18+2025
＝2a2﹣14a+18+2025
＝2×（﹣9）+18+2025
＝2025．
8．（8分）（2025•楚雄市二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．
（1）若函数图象过点（﹣1，0），求a的值．
（2）当2≤x≤6时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝11，求a的值．
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（﹣1，0），
∴a+4a+2＝0，
∴a=−25．
（2）由题意，∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a），
∴x＝2时，y＝2﹣4a，
当x＝6时，y＝36a﹣24a+2＝12a+2，
当a＞0时，当2≤x≤6时，M＝12a+2，N＝2﹣4a，
∵M﹣N＝11，
∴12a+2﹣（2﹣4a）＝11，
∴a=1116．
当a＜0时，当2≤x≤6时，N＝12a+2，M＝2﹣4a，
∵M﹣N＝11，
∴2﹣4a﹣（12a+2）＝11，
∴a=−1116．
∴a的值为1116或−1116．
9．（8分）（2025•西山区校级模拟）已知二次函数y=12ax2−ax+2（a为常数，a≠0）．
（1）当x＝2时，求该二次函数的值；
（2）若二次函数y=12ax2−ax+2与直线y＝﹣x+1有唯一交点，设T=a3a8+a5−209a4−58a3+a，求T的值．
解：（1）把x＝2代入y=12ax2﹣ax+2，
得：y=12a×22﹣2a+2＝2，
∴当x＝2时，该二次函数的值为2；
（2）联立得：12ax2﹣ax+2＝﹣x+1，
整理得：12ax2+（﹣a+1）x+1＝0，
∵二次函数y=12ax2﹣ax+2与直线y＝﹣x+1有唯一交点，
∴Δ＝（﹣a+1）2﹣4×12a×1＝0，即a2﹣4a+1＝0，
∴a2＝4a﹣1，
∴a3＝a（4a﹣1）＝4a2﹣a＝4（4a﹣1）﹣a＝15a﹣4，
a4＝（4a﹣1）2＝16a2﹣8a+1＝16（4a﹣1）﹣8a+1＝56a﹣15，
a7＝a4•a3＝（56a﹣15）（15a﹣4）＝840a2﹣449a+60＝840（4a﹣1）﹣449a+60＝2911a﹣780，
∴T=a3a8+a5−209a4−58a3+a
=a2a7+a4−209a3−58a2+1
=4a−1(2911a−780)+(56a−15)−209(15a−4)−58(4a−1)+1
=4a−1−400a+100
=−1100．
10.（8分）（2024•红塔区二模）已知观察二次函数y＝x2+bx+c的图象后，发现当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＝1时，y的值为﹣4．点A（r，y1）、B（r﹣s，y2）（s≠0）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上任意两点，设M=−4r4+4r3s−r2s2−8r+20244r2−s2−8r+5．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当y1＝y2时，求M的最大值．
解：（1）由题意得：对称轴为：x＝1，即：−b2×1=1，得：b＝﹣2．
当x＝1时，y的值为﹣4，即：12﹣2×1+c＝﹣4，得：c＝﹣3．
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y1＝y2，
∴点A（r，y1）、B（r﹣s，y2）关于x＝1对称，
∴r+r−s2=1，即2 r﹣s＝2，s＝2 r﹣2，
∴4 r2﹣4 r s+s2＝4，s2＝4 r2﹣8 r+4，
M=−4r4+4r3s−r2s2−8r+20244r2−s2−8r+5=−r2(4r2−4rs+s2)−8r+20244r2−(4r2−8r+4)−8r+5=−4r2−8r+20244r2−4r2+8r−4−8r+5=−4r2−8r+2024．
当r=−−82×(−4)=−1时，s＝﹣4，4 r2﹣s2﹣8 r+5＝4﹣16+8+5＝1≠0．
∵﹣4＜0，
∴抛物线M＝﹣4 r2﹣8 r+2024开口向下，
∴当r＝﹣1时，M有最大值，最大值＝﹣4×（﹣1）2﹣8×（﹣1）+2024＝2028．
答：M的最大值为2028．
11．（8分）（2025•五华区一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），并且经过点（2，11）．
（1）求抛物线表示的二次函数的解析式；
（2）已知点A（m，n）在抛物线上，K=n2−4n+5m+1(m≠−1)，且m与K均为整数，求点A的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，
由条件可得：11＝a×（2+1）2+2，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2+2；
（2）∵点A在抛物线y＝（x+1）2+2上，
∴n＝（m+1）2+2，
即n﹣2＝（m+1）2；
∵K=n2−4n+5m+1
=(n−2)2+1m+1
=(m+1)4+1m+1
=(m+1)3+1m+1；
由条件可知m+1＝±1，
∴m＝0或m＝﹣2，
此时n＝3；
综上，点A的坐标为（0，3）或（﹣2，3）．
12．（8分）（2025•盘龙区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣2mx2﹣6mx+3（m≠0）．
（1）试说明点P（﹣3，3）在该抛物线上；
（2）已知A（2m+1，a）、B（t，b）是抛物线上的任意两点，若对于2≤t≤4，都有a﹣b＜0，求m的取值范围．
解：（1）由题意，∵y＝﹣2mx2﹣6mx+3，即y＝m（﹣2x2﹣6x）+3，
∴令﹣2x2﹣6x＝0，则y＝3．
∴当x＝0或x＝﹣3时，y＝3．
∴抛物线必过点（0，3），（﹣3，3）．
∴点P（﹣3，3）在该抛物线上．
（2）由题意，∵A（2m+1，a）、B（t，b）是抛物线上的任意两点，
∴a＝﹣2m（2m+1）2﹣6m（2m+1）+3，b＝﹣2mt2﹣6mt+3．
∴a﹣b＝﹣2m（2m+1+t）（2m+1﹣t）﹣6m（2m+1﹣t）
＝﹣2m（2m+1﹣t）（2m+t+4）．
又∵a﹣b＜0，
∴﹣2m（2m+1﹣t）（2m+t+4）＜0．
又∵2≤t≤4，
∴﹣4≤﹣t≤﹣2，1≤t﹣1≤3，
∴①当m＞0时，
∴2m+t+4＞0，﹣2m＜0．
∴2m+1﹣t＞0．
∴2m＞t﹣1．
又∵1≤t﹣1≤3，
∴2m＞3．
∴m＞32．
②当m＜0时，
∴2m+1﹣t＜0，﹣2m＞0．
∴2m+4+t＞0．
∴2m＞﹣t﹣4．
又∵﹣8≤﹣t﹣4≤﹣6，
∴2m＞﹣6．
∴m＞﹣3．
∴此时﹣3＜m＜0．
综上，﹣3＜m＜0或m＞32．